Номер 39.3, страница 226, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

39.3. Известно, что $ \lim_{x \to \infty} f(x) = 2 $, $ \lim_{x \to \infty} g(x) = -3 $, $ \lim_{x \to \infty} h(x) = 9 $.

Вычислите:

а) $ \lim_{x \to \infty} (f(x) + g(x) - h(x)) $;

б) $ \lim_{x \to \infty} (g(x) \cdot (f(x))^2) $;

в) $ \lim_{x \to \infty} (g(x) - f(x) + h(x)) $;

г) $ \lim_{x \to \infty} (f(x) \cdot g(x) \cdot h(x)) $.

Для решения этой задачи используются основные свойства пределов, также известные как теоремы о пределах. Если функции имеют конечные пределы при $x \to \infty$, то предел их суммы, разности, произведения и степени также существует и может быть вычислен по следующим правилам:

• Предел суммы/разности: $\lim_{x \to \infty} (f(x) \pm g(x)) = \lim_{x \to \infty} f(x) \pm \lim_{x \to \infty} g(x)$
• Предел произведения: $\lim_{x \to \infty} (f(x) \cdot g(x)) = (\lim_{x \to \infty} f(x)) \cdot (\lim_{x \to \infty} g(x))$
• Предел степени: $\lim_{x \to \infty} (f(x))^n = (\lim_{x \to \infty} f(x))^n$

В условии даны следующие пределы:

$\lim_{x \to \infty} f(x) = 2$

$\lim_{x \to \infty} g(x) = -3$

$\lim_{x \to \infty} h(x) = 9$

Используя эти данные и свойства пределов, вычислим значения выражений.

а) Применяем свойство предела суммы и разности:

$\lim_{x \to \infty} (f(x) + g(x) - h(x)) = \lim_{x \to \infty} f(x) + \lim_{x \to \infty} g(x) - \lim_{x \to \infty} h(x)$

Подставляем известные значения пределов:

$2 + (-3) - 9 = 2 - 3 - 9 = -10$

Ответ: -10

б) Применяем свойство предела произведения и свойство предела степени:

$\lim_{x \to \infty} (g(x) \cdot (f(x))^2) = (\lim_{x \to \infty} g(x)) \cdot (\lim_{x \to \infty} f(x))^2$

Подставляем известные значения:

$(-3) \cdot (2)^2 = -3 \cdot 4 = -12$

Ответ: -12

в) Применяем свойство предела суммы и разности:

$\lim_{x \to \infty} (g(x) - f(x) + h(x)) = \lim_{x \to \infty} g(x) - \lim_{x \to \infty} f(x) + \lim_{x \to \infty} h(x)$

Подставляем известные значения:

$-3 - 2 + 9 = -5 + 9 = 4$

Ответ: 4

г) Применяем свойство предела произведения для трех функций:

$\lim_{x \to \infty} (f(x) \cdot g(x) \cdot h(x)) = (\lim_{x \to \infty} f(x)) \cdot (\lim_{x \to \infty} g(x)) \cdot (\lim_{x \to \infty} h(x))$

Подставляем известные значения:

$2 \cdot (-3) \cdot 9 = -6 \cdot 9 = -54$

Ответ: -54