Номер 38.35, страница 224, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

38.35. Найдите сумму ($x \neq \frac{\pi n}{2}$):

a) $\sin x + \sin^2 x + \sin^3 x + \sin^4 x + \dots$;

б) $\cos x - \cos^2 x + \cos^3 x - \cos^4 x + \dots$;

в) $\cos^2 x + \cos^4 x + \cos^6 x + \cos^8 x + \dots$;

г) $1 - \sin^3 x + \sin^6 x - \sin^9 x + \dots$.

Для нахождения суммы в каждом из пунктов мы будем использовать формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: $S = \frac{b_1}{1 - q}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Формула применима при условии $|q| < 1$.

Условие $x \neq \frac{\pi n}{2}$ (где $n$ — целое число) гарантирует, что $|\sin x| < 1$ и $|\cos x| < 1$, что обеспечивает сходимость всех рассматриваемых рядов.

а) $ \sin x + \sin^2 x + \sin^3 x + \sin^4 x + ... $

Это бесконечная геометрическая прогрессия, у которой первый член $b_1 = \sin x$, а знаменатель $q = \frac{\sin^2 x}{\sin x} = \sin x$. Так как $|\sin x| < 1$, ряд сходится. Сумма прогрессии равна: $S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{\sin x}{1 - \sin x}$.

Ответ: $ \frac{\sin x}{1 - \sin x} $.

б) $ \cos x - \cos^2 x + \cos^3 x - \cos^4 x + ... $

Это бесконечная геометрическая прогрессия. Первый член $b_1 = \cos x$, а знаменатель $q = \frac{-\cos^2 x}{\cos x} = -\cos x$. Так как $|\cos x| < 1$, то и $|-\cos x| < 1$, следовательно, ряд сходится. Сумма прогрессии равна: $S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{\cos x}{1 - (-\cos x)} = \frac{\cos x}{1 + \cos x}$.

Ответ: $ \frac{\cos x}{1 + \cos x} $.

в) $ \cos^2 x + \cos^4 x + \cos^6 x + \cos^8 x + ... $

Это бесконечная геометрическая прогрессия с первым членом $b_1 = \cos^2 x$ и знаменателем $q = \frac{\cos^4 x}{\cos^2 x} = \cos^2 x$. Условие сходимости $|q| < 1$ выполняется, так как $|\cos x| < 1$ влечет за собой $\cos^2 x < 1$. Найдем сумму: $S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{\cos^2 x}{1 - \cos^2 x}$. Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, получаем $1 - \cos^2 x = \sin^2 x$. Тогда сумма равна: $S = \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} = \cot^2 x$.

Ответ: $ \cot^2 x $.

г) $ 1 - \sin^3 x + \sin^6 x - \sin^9 x + ... $

Это бесконечная геометрическая прогрессия, у которой первый член $b_1 = 1$, а знаменатель $q = \frac{-\sin^3 x}{1} = -\sin^3 x$. Условие сходимости $|q| < 1$ выполняется, так как $|\sin x| < 1$ влечет за собой $|-\sin^3 x| = |\sin x|^3 < 1$. Сумма прогрессии равна: $S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{1}{1 - (-\sin^3 x)} = \frac{1}{1 + \sin^3 x}$.

Ответ: $ \frac{1}{1 + \sin^3 x} $.