Номер 38.29, страница 223, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

38.29. a) Найдите сумму геометрической прогрессии, если известно, что сумма первого и третьего её членов равна 29, а второго и четвёртого — 11,6.

б) Чему равен пятый член геометрической прогрессии, если известно, что он в 4 раза меньше куба третьего члена прогрессии, а сумма прогрессии равна 4,5?

а) Обозначим первый член геометрической прогрессии как $b_1$, а ее знаменатель как $q$. Члены прогрессии определяются формулой $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Согласно условию, сумма первого и третьего членов равна 29:

$b_1 + b_3 = 29$

$b_1 + b_1 q^2 = 29$

$b_1(1 + q^2) = 29$ (1)

Сумма второго и четвертого членов равна 11,6:

$b_2 + b_4 = 11,6$

$b_1 q + b_1 q^3 = 11,6$

$b_1 q(1 + q^2) = 11,6$ (2)

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными. Чтобы найти $q$, разделим уравнение (2) на уравнение (1). Это можно сделать, так как из первого уравнения видно, что его левая часть не равна нулю (иначе 29 было бы равно 0).

$\frac{b_1 q(1 + q^2)}{b_1 (1 + q^2)} = \frac{11,6}{29}$

$q = \frac{11,6}{29} = 0,4$

Теперь, зная знаменатель $q$, мы можем найти первый член $b_1$ из уравнения (1):

$b_1(1 + (0,4)^2) = 29$

$b_1(1 + 0,16) = 29$

$b_1(1,16) = 29$

$b_1 = \frac{29}{1,16} = \frac{2900}{116} = 25$

Прогрессия является бесконечно убывающей, так как $|q| = 0,4 < 1$. Найдем ее сумму по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$:

$S = \frac{25}{1 - 0,4} = \frac{25}{0,6} = \frac{250}{6} = \frac{125}{3}$

Ответ: $S = \frac{125}{3}$.

б) Пусть $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — ее знаменатель. Так как задана сумма прогрессии, имеется в виду сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии, для которой выполняется условие $|q| < 1$.

Из условия известно, что пятый член ($b_5$) в 4 раза меньше куба третьего члена ($b_3$):

$b_5 = \frac{(b_3)^3}{4}$

Выразим члены прогрессии через $b_1$ и $q$:

$b_1 q^4 = \frac{(b_1 q^2)^3}{4}$

$b_1 q^4 = \frac{b_1^3 q^6}{4}$

Поскольку сумма прогрессии не равна нулю, $b_1 \neq 0$. Предполагая, что $q \neq 0$ (нетривиальный случай), мы можем сократить обе части уравнения на $b_1 q^4$:

$1 = \frac{b_1^2 q^2}{4}$

$(b_1 q)^2 = 4$, что означает $b_1 q = 2$ или $b_1 q = -2$.

Сумма прогрессии равна 4,5, или $\frac{9}{2}$:

$S = \frac{b_1}{1-q} = \frac{9}{2}$

Теперь рассмотрим два возможных случая для $b_1 q$.

Случай 1: $b_1 q = 2 \implies b_1 = \frac{2}{q}$. Подставим в формулу суммы:

$\frac{2/q}{1-q} = \frac{9}{2} \implies \frac{2}{q-q^2} = \frac{9}{2} \implies 4 = 9q - 9q^2 \implies 9q^2 - 9q + 4 = 0$.

Дискриминант этого квадратного уравнения $D = (-9)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 4 = 81 - 144 = -63$. Так как $D < 0$, действительных решений для $q$ в этом случае нет.

Случай 2: $b_1 q = -2 \implies b_1 = -\frac{2}{q}$. Подставим в формулу суммы:

$\frac{-2/q}{1-q} = \frac{9}{2} \implies \frac{-2}{q-q^2} = \frac{9}{2} \implies -4 = 9q - 9q^2 \implies 9q^2 - 9q - 4 = 0$.

Дискриминант $D = (-9)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-4) = 81 + 144 = 225 = 15^2$. Находим корни:

$q = \frac{9 \pm 15}{18}$.

$q_1 = \frac{9+15}{18} = \frac{24}{18} = \frac{4}{3}$. Этот корень не подходит, так как $|q_1| > 1$.

$q_2 = \frac{9-15}{18} = \frac{-6}{18} = -\frac{1}{3}$. Этот корень подходит, так как $|q_2| < 1$.

Таким образом, знаменатель прогрессии $q = -\frac{1}{3}$.

Найдем первый член $b_1$:

$b_1 = -\frac{2}{q} = -\frac{2}{-1/3} = 6$.

Вопрос задачи — найти пятый член прогрессии $b_5$.

$b_5 = b_1 q^4 = 6 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^4 = 6 \cdot \frac{1}{81} = \frac{6}{81} = \frac{2}{27}$.

Ответ: $b_5 = \frac{2}{27}$.