Номер 38.24, страница 222, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

38.24. Найдите знаменатель и сумму геометрической прогрессии ($b_n$), если:

а) $b_1 = -2, b_2 = 1;$

б) $b_1 = 3, b_2 = \frac{1}{3};$

в) $b_1 = 7, b_2 = -1;$

г) $b_1 = -20, b_2 = 4.$

а) Дано: $b_1 = -2$, $b_2 = 1$.

Сначала найдем знаменатель геометрической прогрессии $q$. Знаменатель равен отношению второго члена к первому:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}$.

Поскольку модуль знаменателя $|q| = |-\frac{1}{2}| = \frac{1}{2} < 1$, данная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей, и мы можем найти ее сумму. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

$S = \frac{b_1}{1-q}$.

Подставим известные значения $b_1$ и $q$ в формулу:

$S = \frac{-2}{1 - (-\frac{1}{2})} = \frac{-2}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{-2}{\frac{3}{2}} = -2 \cdot \frac{2}{3} = -\frac{4}{3}$.

Ответ: знаменатель $q = -\frac{1}{2}$, сумма $S = -\frac{4}{3}$.

б) Дано: $b_1 = 3$, $b_2 = \frac{1}{3}$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$ по формуле $q = \frac{b_2}{b_1}$:

$q = \frac{\frac{1}{3}}{3} = \frac{1}{9}$.

Так как $|q| = |\frac{1}{9}| = \frac{1}{9} < 1$, мы можем найти сумму прогрессии по формуле для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии $S = \frac{b_1}{1-q}$.

Подставим значения:

$S = \frac{3}{1 - \frac{1}{9}} = \frac{3}{\frac{9-1}{9}} = \frac{3}{\frac{8}{9}} = 3 \cdot \frac{9}{8} = \frac{27}{8}$.

Ответ: знаменатель $q = \frac{1}{9}$, сумма $S = \frac{27}{8}$.

в) Дано: $b_1 = 7$, $b_2 = -1$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$ по формуле $q = \frac{b_2}{b_1}$:

$q = \frac{-1}{7} = -\frac{1}{7}$.

Поскольку $|q| = |-\frac{1}{7}| = \frac{1}{7} < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей. Найдем ее сумму по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$.

Подставим известные значения в формулу:

$S = \frac{7}{1 - (-\frac{1}{7})} = \frac{7}{1 + \frac{1}{7}} = \frac{7}{\frac{7+1}{7}} = \frac{7}{\frac{8}{7}} = 7 \cdot \frac{7}{8} = \frac{49}{8}$.

Ответ: знаменатель $q = -\frac{1}{7}$, сумма $S = \frac{49}{8}$.

г) Дано: $b_1 = -20$, $b_2 = 4$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$, используя первые два члена:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{4}{-20} = -\frac{1}{5}$.

Так как модуль знаменателя $|q| = |-\frac{1}{5}| = \frac{1}{5} < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей, и можно найти ее сумму по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$.

Подставим значения $b_1$ и $q$:

$S = \frac{-20}{1 - (-\frac{1}{5})} = \frac{-20}{1 + \frac{1}{5}} = \frac{-20}{\frac{6}{5}} = -20 \cdot \frac{5}{6} = -\frac{100}{6} = -\frac{50}{3}$.

Ответ: знаменатель $q = -\frac{1}{5}$, сумма $S = -\frac{50}{3}$.