Номер 38.18, страница 221, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

38.18. a) $x_n = \frac{(2n + 1)(n - 3)}{n^2}$;

б) $x_n = \frac{(3n + 1)(4n - 1)}{(n + 1)^2}$;

В) $x_n = \frac{(3n - 2)(2n + 3)}{n^2}$;

Г) $x_n = \frac{(1 - 2n)(1 + n)}{(n + 2)^2}$.

а) Для нахождения предела последовательности $x_n = \frac{(2n + 1)(n - 3)}{n^2}$ при $n \to \infty$, сначала раскроем скобки в числителе: $(2n + 1)(n - 3) = 2n^2 - 6n + n - 3 = 2n^2 - 5n - 3$. Таким образом, нам нужно найти предел $\lim_{n \to \infty} \frac{2n^2 - 5n - 3}{n^2}$. Поскольку степени многочленов в числителе и знаменателе равны (старшая степень $n^2$), предел равен отношению коэффициентов при этой старшей степени. Коэффициент при $n^2$ в числителе равен 2, а в знаменателе - 1. Следовательно, предел равен $\frac{2}{1} = 2$.
Ответ: 2.

б) Рассмотрим предел последовательности $x_n = \frac{(3n + 1)(4n - 1)}{(n + 1)^2}$. Раскроем скобки в числителе и знаменателе. Числитель: $(3n + 1)(4n - 1) = 12n^2 - 3n + 4n - 1 = 12n^2 + n - 1$. Знаменатель: $(n + 1)^2 = n^2 + 2n + 1$. Теперь предел имеет вид $\lim_{n \to \infty} \frac{12n^2 + n - 1}{n^2 + 2n + 1}$. Степени многочленов в числителе и знаменателе совпадают и равны 2. Предел такой дроби равен отношению коэффициентов при старшей степени $n^2$. В числителе это 12, в знаменателе - 1. Таким образом, предел равен $\frac{12}{1} = 12$.
Ответ: 12.

в) Найдем предел последовательности $x_n = \frac{(3n - 2)(2n + 3)}{n^2}$. Преобразуем числитель, раскрыв скобки: $(3n - 2)(2n + 3) = 6n^2 + 9n - 4n - 6 = 6n^2 + 5n - 6$. Вычисляем предел: $\lim_{n \to \infty} \frac{6n^2 + 5n - 6}{n^2}$. Степень числителя (2) равна степени знаменателя (2). Следовательно, предел равен отношению коэффициентов при $n^2$, то есть $\frac{6}{1} = 6$.
Ответ: 6.

г) Найдем предел последовательности $x_n = \frac{(1 - 2n)(1 + n)}{(n + 2)^2}$. Преобразуем числитель и знаменатель. Числитель: $(1 - 2n)(1 + n) = 1 + n - 2n - 2n^2 = -2n^2 - n + 1$. Знаменатель: $(n + 2)^2 = n^2 + 4n + 4$. Искомый предел: $\lim_{n \to \infty} \frac{-2n^2 - n + 1}{n^2 + 4n + 4}$. Так как степени многочленов в числителе и знаменателе равны 2, предел равен отношению коэффициентов при $n^2$. Коэффициент в числителе -2, в знаменателе 1. Значит, предел равен $\frac{-2}{1} = -2$.
Ответ: -2.