Номер 38.16, страница 221, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

38.16. a) $x_n = \frac{5n + 3}{n + 1}$;

б) $x_n = \frac{7n - 5}{n + 2}$;

В) $x_n = \frac{3n + 1}{n + 2}$,

Г) $x_n = \frac{2n + 1}{3n - 1}$.

а) Для нахождения предела последовательности $x_n = \frac{5n + 3}{n + 1}$ при $n \to \infty$, необходимо вычислить предел $\lim_{n \to \infty} \frac{5n + 3}{n + 1}$. Это неопределенность вида $\frac{\infty}{\infty}$. Чтобы ее раскрыть, разделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень переменной $n$, то есть на $n$:
$\lim_{n \to \infty} \frac{5n + 3}{n + 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{5n}{n} + \frac{3}{n}}{\frac{n}{n} + \frac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{5 + \frac{3}{n}}{1 + \frac{1}{n}}$.
Поскольку при $n \to \infty$ дроби $\frac{3}{n}$ и $\frac{1}{n}$ стремятся к нулю ($\lim_{n \to \infty} \frac{k}{n} = 0$), получаем:
$\frac{5 + 0}{1 + 0} = \frac{5}{1} = 5$.
Ответ: 5

б) Для нахождения предела последовательности $x_n = \frac{7n - 5}{n + 2}$ при $n \to \infty$, разделим числитель и знаменатель дроби на $n$:
$\lim_{n \to \infty} \frac{7n - 5}{n + 2} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{7n}{n} - \frac{5}{n}}{\frac{n}{n} + \frac{2}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{7 - \frac{5}{n}}{1 + \frac{2}{n}}$.
Так как при $n \to \infty$ дроби $\frac{5}{n}$ и $\frac{2}{n}$ стремятся к нулю, имеем:
$\frac{7 - 0}{1 + 0} = \frac{7}{1} = 7$.
Ответ: 7

в) Для нахождения предела последовательности $x_n = \frac{3n + 1}{n + 2}$ при $n \to \infty$, разделим числитель и знаменатель дроби на $n$:
$\lim_{n \to \infty} \frac{3n + 1}{n + 2} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{3n}{n} + \frac{1}{n}}{\frac{n}{n} + \frac{2}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{3 + \frac{1}{n}}{1 + \frac{2}{n}}$.
При $n \to \infty$ дроби $\frac{1}{n}$ и $\frac{2}{n}$ стремятся к нулю, поэтому:
$\frac{3 + 0}{1 + 0} = \frac{3}{1} = 3$.
Ответ: 3

г) Для нахождения предела последовательности $x_n = \frac{2n + 1}{3n - 1}$ при $n \to \infty$, разделим числитель и знаменатель дроби на $n$:
$\lim_{n \to \infty} \frac{2n + 1}{3n - 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2n}{n} + \frac{1}{n}}{\frac{3n}{n} - \frac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{n}}{3 - \frac{1}{n}}$.
Поскольку при $n \to \infty$ дробь $\frac{1}{n}$ стремится к нулю в числителе и знаменателе, получаем:
$\frac{2 + 0}{3 - 0} = \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$