Номер 38.10, страница 220, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

38.10. Верно ли утверждение:

а) если последовательность имеет предел, то она монотонна;

б) если последовательность монотонна, то она имеет предел;

в) если последовательность ограничена, то она имеет предел;

г) если последовательность не монотонна, то она не имеет предела?

а) если последовательность имеет предел, то она монотонна;

Утверждение неверно. Последовательность, которая имеет предел, не обязательно является монотонной. Для опровержения этого утверждения достаточно привести один контрпример.

Рассмотрим последовательность, заданную формулой $x_n = \frac{(-1)^n}{n}$.

Эта последовательность имеет предел, так как $\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{(-1)^n}{n} = 0$.

Однако она не является монотонной. Выпишем несколько ее первых членов: $x_1 = -1$, $x_2 = \frac{1}{2}$, $x_3 = -\frac{1}{3}$, $x_4 = \frac{1}{4}$, и т.д. Поскольку $x_1 < x_2$, но $x_2 > x_3$, последовательность не является ни возрастающей, ни убывающей. Таким образом, мы нашли последовательность, которая имеет предел, но не является монотонной. Ответ: неверно.

б) если последовательность монотонна, то она имеет предел;

Утверждение неверно. Согласно теореме Вейерштрасса, монотонная последовательность имеет конечный предел тогда и только тогда, когда она ограничена. Если монотонная последовательность не является ограниченной, она не имеет конечного предела.

Рассмотрим в качестве контрпримера последовательность натуральных чисел $x_n = n$.

Эта последовательность является монотонно возрастающей, так как для любого натурального $n$ выполняется неравенство $x_{n+1} = n+1 > n = x_n$.

При этом последовательность не ограничена сверху, и ее предел равен бесконечности: $\lim_{n \to \infty} n = +\infty$. Поскольку предел не является конечным числом, говорят, что последовательность расходится, то есть не имеет предела. Ответ: неверно.

в) если последовательность ограничена, то она имеет предел;

Утверждение неверно. Ограниченность последовательности является необходимым, но не достаточным условием для существования предела. Теорема Больцано-Вейерштрасса утверждает, что из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность, но сама последовательность может и не сходиться.

Рассмотрим в качестве контрпримера последовательность $x_n = (-1)^n$.

Ее члены: -1, 1, -1, 1, ... Эта последовательность ограничена, так как все ее значения принадлежат отрезку $[-1, 1]$.

Однако она не имеет предела, так как ее члены колеблются между -1 и 1 и не стремятся ни к какому одному числу. У нее есть две предельные точки (-1 и 1), а для существования предела он должен быть единственным. Ответ: неверно.

г) если последовательность не монотонна, то она не имеет предела?

Утверждение неверно. Отсутствие монотонности не является препятствием для существования предела. Можно привести тот же контрпример, что и в пункте а).

Рассмотрим последовательность $x_n = \frac{(-1)^n}{n}$.

Как было показано ранее, эта последовательность не является монотонной.

Тем не менее, она имеет предел, равный нулю: $\lim_{n \to \infty} \frac{(-1)^n}{n} = 0$.

Следовательно, существует последовательность, которая не является монотонной, но при этом имеет предел. Ответ: неверно.