Номер 38.3, страница 219, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 7. Производная. Параграф 38. Предел числовой последовательности - номер 38.3, страница 219.

Условие.

38.3. Принадлежит ли точка $x_1$ окрестности точки $a$ радиуса $r$, если:

а) $x_1 = 1, a = 2, r = 0,5;$

б) $x_1 = 1,1, a = 1, r = 0,2;$

в) $x_1 = -0,2, a = 0, r = 0,3;$

г) $x_1 = 2,75, a = 2,5, r = 0,3?$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Окрестностью точки $a$ радиуса $r$ называется интервал $(a-r, a+r)$. Точка $x_1$ принадлежит этой окрестности, если расстояние от $x_1$ до $a$ меньше радиуса $r$, то есть выполняется неравенство $|x_1 - a| < r$. Проверим это условие для каждого случая.

а) Для $x_1 = 1$, $a = 2$, $r = 0,5$.
Вычислим расстояние между точками: $|x_1 - a| = |1 - 2| = |-1| = 1$.
Проверим неравенство: $1 < 0,5$. Неравенство неверно.
Следовательно, точка $x_1$ не принадлежит окрестности точки $a$.
Ответ: нет, не принадлежит.

б) Для $x_1 = 1,1$, $a = 1$, $r = 0,2$.
Вычислим расстояние между точками: $|x_1 - a| = |1,1 - 1| = |0,1| = 0,1$.
Проверим неравенство: $0,1 < 0,2$. Неравенство верно.
Следовательно, точка $x_1$ принадлежит окрестности точки $a$.
Ответ: да, принадлежит.

в) Для $x_1 = -0,2$, $a = 0$, $r = 0,3$.
Вычислим расстояние между точками: $|x_1 - a| = |-0,2 - 0| = |-0,2| = 0,2$.
Проверим неравенство: $0,2 < 0,3$. Неравенство верно.
Следовательно, точка $x_1$ принадлежит окрестности точки $a$.
Ответ: да, принадлежит.

г) Для $x_1 = 2,75$, $a = 2,5$, $r = 0,3$.
Вычислим расстояние между точками: $|x_1 - a| = |2,75 - 2,5| = |0,25| = 0,25$.
Проверим неравенство: $0,25 < 0,3$. Неравенство верно.
Следовательно, точка $x_1$ принадлежит окрестности точки $a$.
Ответ: да, принадлежит.