Номер 38.4, страница 219, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

38.4. Существует ли номер $n_0$, начиная с которого все члены последовательности $(x_n)$ попадают в окрестность точки $a$ радиуса $r = 0,1$, если:

а) $x_n = \frac{1}{n^2}$, $a = 0$;

б) $x_n = \frac{1}{n^2}$, $a = 1$;

в) $x_n = \frac{n}{n+1}$, $a = 0$;

г) $x_n = \frac{n}{n+1}$, $a = 1?

Вопрос заключается в том, чтобы для каждой последовательности $(x_n)$ и точки $a$ определить, существует ли такой номер $n_0$, что для всех номеров $n \ge n_0$ выполняется неравенство $|x_n - a| < r$, где $r = 0,1$. Это условие означает, что все члены последовательности, начиная с $n_0$, лежат в интервале $(a - r, a + r)$, то есть в окрестности точки $a$ радиуса $r$.

а)

Дана последовательность $x_n = \frac{1}{n^2}$ и точка $a = 0$. Проверим, существует ли номер $n_0$, начиная с которого все члены последовательности попадают в окрестность точки $a=0$ радиуса $r=0,1$. Окрестность представляет собой интервал $(0 - 0,1; 0 + 0,1)$, то есть $(-0,1; 0,1)$. Условие попадания члена $x_n$ в эту окрестность записывается в виде неравенства: $|x_n - a| < 0,1$ $|\frac{1}{n^2} - 0| < 0,1$ Поскольку $n$ — натуральное число, $n \ge 1$, то $\frac{1}{n^2}$ всегда положительно. Следовательно, знак модуля можно убрать: $\frac{1}{n^2} < 0,1$ $\frac{1}{n^2} < \frac{1}{10}$ Из этого неравенства следует, что $n^2 > 10$. Чтобы найти, с какого номера $n$ это неравенство выполняется, решим его относительно $n$: $n > \sqrt{10}$. Так как $\sqrt{9} = 3$ и $\sqrt{16} = 4$, то $\sqrt{10}$ находится между 3 и 4 ($\sqrt{10} \approx 3,16$). Наименьшее целое число $n$, удовлетворяющее условию $n > \sqrt{10}$, это $n=4$. Таким образом, для всех $n \ge 4$ неравенство будет выполняться. Значит, искомый номер $n_0$ существует, и можно взять $n_0 = 4$.

Ответ: да, существует, например, $n_0 = 4$.

б)

Дана последовательность $x_n = \frac{1}{n^2}$ и точка $a = 1$. Окрестность точки $a=1$ радиуса $r=0,1$ — это интервал $(1 - 0,1; 1 + 0,1)$, то есть $(0,9; 1,1)$. Проверим выполнение неравенства: $|x_n - a| < 0,1$ $|\frac{1}{n^2} - 1| < 0,1$ Поскольку для $n \ge 1$, $0 < \frac{1}{n^2} \le 1$, то выражение $\frac{1}{n^2} - 1$ является неположительным. Поэтому $|\frac{1}{n^2} - 1| = -( \frac{1}{n^2} - 1 ) = 1 - \frac{1}{n^2}$. Неравенство принимает вид: $1 - \frac{1}{n^2} < 0,1$ $1 - 0,1 < \frac{1}{n^2}$ $0,9 < \frac{1}{n^2}$ $\frac{9}{10} < \frac{1}{n^2}$ $9n^2 < 10$ $n^2 < \frac{10}{9}$ Так как $\frac{10}{9} \approx 1,11$, единственное натуральное число $n$, для которого выполняется $n^2 < \frac{10}{9}$, это $n=1$ (поскольку $1^2 = 1 < \frac{10}{9}$). Для $n=2$ уже $2^2=4 > \frac{10}{9}$. Таким образом, условие выполняется только для $n=1$, но не для всех $n$, начиная с какого-либо номера $n_0$. Следовательно, такой номер $n_0$ не существует.

Ответ: нет, не существует.

в)

Дана последовательность $x_n = \frac{n}{n+1}$ и точка $a = 0$. Окрестность точки $a=0$ радиуса $r=0,1$ — это интервал $(-0,1; 0,1)$. Проверим выполнение неравенства: $|x_n - a| < 0,1$ $|\frac{n}{n+1} - 0| < 0,1$ Так как $n \ge 1$, дробь $\frac{n}{n+1}$ всегда положительна. $\frac{n}{n+1} < 0,1$ $\frac{n}{n+1} < \frac{1}{10}$ $10n < n+1$ $9n < 1$ $n < \frac{1}{9}$ Не существует натурального числа $n$, которое было бы меньше $\frac{1}{9}$. Следовательно, ни один член последовательности не попадает в заданную окрестность, и номера $n_0$ не существует.

Ответ: нет, не существует.

г)

Дана последовательность $x_n = \frac{n}{n+1}$ и точка $a = 1$. Окрестность точки $a=1$ радиуса $r=0,1$ — это интервал $(0,9; 1,1)$. Проверим выполнение неравенства: $|x_n - a| < 0,1$ $|\frac{n}{n+1} - 1| < 0,1$ Упростим выражение под знаком модуля: $\frac{n}{n+1} - 1 = \frac{n - (n+1)}{n+1} = \frac{-1}{n+1}$ Неравенство принимает вид: $|\frac{-1}{n+1}| < 0,1$ $\frac{1}{n+1} < 0,1$ $\frac{1}{n+1} < \frac{1}{10}$ $10 < n+1$ $n > 9$ Это неравенство выполняется для всех натуральных чисел $n$, которые больше 9, то есть для $n = 10, 11, 12, \dots$. Следовательно, мы можем выбрать $n_0 = 10$. Начиная с этого номера, все члены последовательности будут попадать в заданную окрестность.

Ответ: да, существует, например, $n_0 = 10$.