Номер 37.58, страница 218, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

37.58. Исследуйте последовательность $ (x_n) $ на ограниченность и монотонность:

а) $ x_n = \frac{n}{n+2}; $

б) $ x_n = \frac{n^2+1}{n^2}. $

а) $x_n = \frac{n}{n+2}$

Исследование на монотонность:

Чтобы исследовать последовательность на монотонность, сравним её соседние члены $x_n$ и $x_{n+1}$.

$x_n = \frac{n}{n+2}$

$x_{n+1} = \frac{n+1}{(n+1)+2} = \frac{n+1}{n+3}$

Рассмотрим разность $x_{n+1} - x_n$:

$x_{n+1} - x_n = \frac{n+1}{n+3} - \frac{n}{n+2} = \frac{(n+1)(n+2) - n(n+3)}{(n+3)(n+2)}$

Преобразуем числитель:

$(n+1)(n+2) - n(n+3) = (n^2 + 2n + n + 2) - (n^2 + 3n) = n^2 + 3n + 2 - n^2 - 3n = 2$

Знаменатель $(n+3)(n+2)$ положителен для любого натурального $n$ (так как $n \ge 1$).

Таким образом, разность равна:

$x_{n+1} - x_n = \frac{2}{(n+3)(n+2)}$

Поскольку и числитель (2), и знаменатель $((n+3)(n+2))$ положительны, то $x_{n+1} - x_n > 0$ для всех $n \in \mathbb{N}$.

Это означает, что $x_{n+1} > x_n$, следовательно, последовательность является строго возрастающей (монотонно возрастает).

Исследование на ограниченность:

Поскольку последовательность монотонно возрастает, она ограничена снизу своим первым членом:

$x_1 = \frac{1}{1+2} = \frac{1}{3}$.

Таким образом, для всех $n \in \mathbb{N}$ выполняется неравенство $x_n \ge \frac{1}{3}$.

Для проверки ограниченности сверху преобразуем выражение для $x_n$:

$x_n = \frac{n}{n+2} = \frac{n+2-2}{n+2} = \frac{n+2}{n+2} - \frac{2}{n+2} = 1 - \frac{2}{n+2}$.

Так как $n \ge 1$, то $n+2 > 0$, и, следовательно, дробь $\frac{2}{n+2}$ всегда положительна.

Поэтому $x_n = 1 - \frac{2}{n+2} < 1$ для всех $n \in \mathbb{N}$.

Последовательность ограничена сверху числом 1.

Так как последовательность ограничена и снизу (например, числом $\frac{1}{3}$), и сверху (числом 1), она является ограниченной.

Ответ: последовательность является монотонно возрастающей и ограниченной.

б) $x_n = \frac{n^2+1}{n^2}$

Исследование на монотонность:

Преобразуем выражение для $x_n$, разделив числитель на знаменатель почленно:

$x_n = \frac{n^2}{n^2} + \frac{1}{n^2} = 1 + \frac{1}{n^2}$.

Запишем выражение для следующего члена последовательности $x_{n+1}$:

$x_{n+1} = 1 + \frac{1}{(n+1)^2}$.

Сравним $x_n$ и $x_{n+1}$. Для любого натурального $n$ справедливо неравенство $n+1 > n$.

Поскольку обе части положительны, можно возвести их в квадрат: $(n+1)^2 > n^2$.

При взятии обратных величин от положительных чисел знак неравенства меняется на противоположный:

$\frac{1}{(n+1)^2} < \frac{1}{n^2}$.

Прибавим 1 к обеим частям неравенства:

$1 + \frac{1}{(n+1)^2} < 1 + \frac{1}{n^2}$.

Это означает, что $x_{n+1} < x_n$ для всех $n \in \mathbb{N}$.

Следовательно, последовательность является строго убывающей (монотонно убывает).

Исследование на ограниченность:

Поскольку последовательность монотонно убывает, она ограничена сверху своим первым членом:

$x_1 = \frac{1^2+1}{1^2} = \frac{2}{1} = 2$.

Таким образом, для всех $n \in \mathbb{N}$ выполняется неравенство $x_n \le 2$.

Для проверки ограниченности снизу снова воспользуемся преобразованным выражением $x_n = 1 + \frac{1}{n^2}$.

Так как $n \ge 1$, то $n^2 > 0$, и, следовательно, дробь $\frac{1}{n^2}$ всегда положительна.

Поэтому $x_n = 1 + \frac{1}{n^2} > 1$ для всех $n \in \mathbb{N}$.

Последовательность ограничена снизу числом 1.

Так как последовательность ограничена и сверху (числом 2), и снизу (числом 1), она является ограниченной.

Ответ: последовательность является монотонно убывающей и ограниченной.