Номер 37.55, страница 218, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

37.55. При каких значениях параметра $p$ последовательность

$(y_n)$ будет возрастающей:

a) $y_n = pn - 5;$

б) $y_n = -\frac{p - 1}{n};$

в) $y_n = 2 - pn;$

г) $y_n = \frac{p + 2}{n + 1}?$

а)Последовательность $(y_n)$ является возрастающей, если для любого натурального $n$ выполняется строгое неравенство $y_{n+1} > y_n$. Это условие равносильно тому, что разность $y_{n+1} - y_n$ положительна.
Для последовательности $y_n = pn - 5$ найдем эту разность.
Сначала запишем $(n+1)$-й член последовательности: $y_{n+1} = p(n+1) - 5 = pn + p - 5$.
Теперь найдем разность:
$y_{n+1} - y_n = (pn + p - 5) - (pn - 5) = pn + p - 5 - pn + 5 = p$.
Для того чтобы последовательность была возрастающей, должно выполняться неравенство $y_{n+1} - y_n > 0$, что в данном случае означает:
$p > 0$.
Это условие не зависит от $n$, поэтому последовательность возрастает при всех $p > 0$.
Ответ: $p > 0$.

б)Для последовательности $y_n = -\frac{p-1}{n}$ найдем разность $y_{n+1} - y_n$.
Запишем $(n+1)$-й член: $y_{n+1} = -\frac{p-1}{n+1}$.
Найдем разность:
$y_{n+1} - y_n = \left(-\frac{p-1}{n+1}\right) - \left(-\frac{p-1}{n}\right) = (p-1) \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right)$.
Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:
$y_{n+1} - y_n = (p-1) \left(\frac{n+1-n}{n(n+1)}\right) = \frac{p-1}{n(n+1)}$.
Условие возрастания $y_{n+1} - y_n > 0$ принимает вид:
$\frac{p-1}{n(n+1)} > 0$.
Поскольку $n$ — натуральное число, знаменатель $n(n+1)$ всегда положителен. Следовательно, знак дроби определяется знаком числителя. Неравенство будет выполняться, если:
$p - 1 > 0$,
$p > 1$.
Ответ: $p > 1$.

в)Для последовательности $y_n = 2 - pn$ найдем разность $y_{n+1} - y_n$.
Запишем $(n+1)$-й член: $y_{n+1} = 2 - p(n+1) = 2 - pn - p$.
Найдем разность:
$y_{n+1} - y_n = (2 - pn - p) - (2 - pn) = 2 - pn - p - 2 + pn = -p$.
Условие возрастания $y_{n+1} - y_n > 0$ принимает вид:
$-p > 0$.
Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак на противоположный:
$p < 0$.
Ответ: $p < 0$.

г)Для последовательности $y_n = \frac{p+2}{n+1}$ найдем разность $y_{n+1} - y_n$.
Запишем $(n+1)$-й член: $y_{n+1} = \frac{p+2}{n+2}$.
Найдем разность:
$y_{n+1} - y_n = \frac{p+2}{n+2} - \frac{p+2}{n+1} = (p+2) \left(\frac{1}{n+2} - \frac{1}{n+1}\right)$.
Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:
$y_{n+1} - y_n = (p+2) \left(\frac{n+1 - (n+2)}{(n+1)(n+2)}\right) = (p+2) \left(\frac{-1}{(n+1)(n+2)}\right) = \frac{-(p+2)}{(n+1)(n+2)}$.
Условие возрастания $y_{n+1} - y_n > 0$ принимает вид:
$\frac{-(p+2)}{(n+1)(n+2)} > 0$.
Поскольку $n$ — натуральное число, знаменатель $(n+1)(n+2)$ всегда положителен. Следовательно, знак дроби определяется знаком числителя. Неравенство будет выполняться, если:
$-(p+2) > 0$.
$p+2 < 0$.
$p < -2$.
Ответ: $p < -2$.