Номер 37.59, страница 218, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

37.59. Приведите примеры последовательностей:

а) возрастающих и ограниченных снизу;

б) возрастающих и не ограниченных сверху;

в) убывающих и ограниченных снизу;

г) убывающих и не ограниченных снизу.

а) возрастающих и ограниченных снизу;

Рассмотрим последовательность, заданную формулой общего члена $a_n = n$ для $n \in \mathbb{N}$.
Ее первые члены: $1, 2, 3, 4, ...$

1. Возрастание: Последовательность является возрастающей, если каждый следующий ее член больше предыдущего, то есть $a_{n+1} > a_n$.
В нашем случае $a_n = n$ и $a_{n+1} = n+1$. Так как $n+1 > n$ для любого натурального $n$, то условие $a_{n+1} > a_n$ выполняется. Следовательно, последовательность возрастающая.

2. Ограниченность снизу: Последовательность ограничена снизу, если существует такое число $M$, что все члены последовательности больше или равны $M$, то есть $a_n \ge M$.
Так как последовательность возрастающая, ее наименьший член — первый, $a_1 = 1$. Все остальные члены больше 1. Таким образом, для любого $n \in \mathbb{N}$ выполняется неравенство $a_n = n \ge 1$. Значит, последовательность ограничена снизу, например, числом 1.

Ответ: последовательность $a_n = n$.

б) возрастающих и не ограниченных сверху;

Рассмотрим последовательность, заданную формулой общего члена $a_n = n^2$ для $n \in \mathbb{N}$.
Ее первые члены: $1, 4, 9, 16, ...$

1. Возрастание: Проверим условие $a_{n+1} > a_n$.
$a_n = n^2$ и $a_{n+1} = (n+1)^2 = n^2 + 2n + 1$.
Так как $2n+1 > 0$ для всех натуральных $n$, то $n^2 + 2n + 1 > n^2$, то есть $a_{n+1} > a_n$. Последовательность является возрастающей.

2. Неограниченность сверху: Последовательность не ограничена сверху, если для любого, сколь угодно большого числа $M$, найдется такой член последовательности $a_n$, который будет больше $M$.
Какое бы большое число $M > 0$ мы ни взяли, всегда можно найти такое натуральное число $n$, что $n > \sqrt{M}$. Тогда $n^2 > M$, то есть $a_n > M$. Это означает, что последовательность не ограничена сверху.

Ответ: последовательность $a_n = n^2$.

в) убывающих и ограниченных снизу;

Рассмотрим последовательность, заданную формулой общего члена $a_n = \frac{1}{n}$ для $n \in \mathbb{N}$.
Ее первые члены: $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, ...$

1. Убывание: Последовательность является убывающей, если каждый следующий ее член меньше предыдущего, то есть $a_{n+1} < a_n$.
$a_n = \frac{1}{n}$ и $a_{n+1} = \frac{1}{n+1}$.
Так как для натуральных $n$ верно неравенство $n+1 > n$, то, разделив обе части на $n(n+1) > 0$, получим $\frac{1}{n} > \frac{1}{n+1}$. Следовательно, $a_n > a_{n+1}$, и последовательность является убывающей.

2. Ограниченность снизу: Все члены последовательности являются положительными числами, так как $n$ — натуральное число. То есть для любого $n \in \mathbb{N}$ выполняется $a_n = \frac{1}{n} > 0$. Это означает, что последовательность ограничена снизу, например, числом 0.

Ответ: последовательность $a_n = \frac{1}{n}$.

г) убывающих и не ограниченных снизу.

Рассмотрим последовательность, заданную формулой общего члена $a_n = -n$ для $n \in \mathbb{N}$.
Ее первые члены: $-1, -2, -3, -4, ...$

1. Убывание: Проверим условие $a_{n+1} < a_n$.
$a_n = -n$ и $a_{n+1} = -(n+1) = -n - 1$.
Так как $-n-1 < -n$, то $a_{n+1} < a_n$. Последовательность является убывающей.

2. Неограниченность снизу: Последовательность не ограничена снизу, если для любого числа $M$ (в данном случае, сколь угодно малого, то есть большого по модулю отрицательного числа) найдется такой член последовательности $a_n$, который будет меньше $M$.
Какое бы число $M$ мы ни взяли, всегда можно найти натуральное число $n$ такое, что $n > -M$. Умножив это неравенство на -1, получим $-n < M$, то есть $a_n < M$. Это означает, что последовательность не ограничена снизу.

Ответ: последовательность $a_n = -n$.