Номер 38.5, страница 219, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Укажите номер $n_0$ того члена последовательности $(x_n)$, начиная с которого все члены последовательности попадут в окрестность точки $a$ радиуса $r$ :

38.5. а) $x_n = \frac{1}{2n}, a = 0, r = 0,1$;

б) $x_n = 3 + \frac{1}{n^2}, a = 3, r = 0,2$;

в) $x_n = 1 + \frac{2}{n^2}, a = 1, r = 0,01$;

г) $x_n = -\frac{3}{n}, a = 0, r = 0,1$.

а) Условие, что член последовательности $x_n$ попадает в окрестность точки $a$ радиуса $r$, записывается в виде неравенства $|x_n - a| < r$. Нам нужно найти номер $n_0$, начиная с которого это неравенство будет выполняться для всех $n \ge n_0$.
Подставим в неравенство данные из условия: $x_n = \frac{1}{2n}$, $a = 0$, $r = 0,1$.
$|\frac{1}{2n} - 0| < 0,1$
Поскольку номер члена последовательности $n$ является натуральным числом ($n \ge 1$), то $2n > 0$, и выражение $\frac{1}{2n}$ всегда положительно. Следовательно, знак модуля можно опустить.
$\frac{1}{2n} < 0,1$
Представим $0,1$ в виде обыкновенной дроби $\frac{1}{10}$:
$\frac{1}{2n} < \frac{1}{10}$
Так как обе части неравенства положительны, мы можем "перевернуть" дроби, изменив знак неравенства на противоположный:
$2n > 10$
$n > \frac{10}{2}$
$n > 5$
Неравенство выполняется для всех натуральных чисел $n$, которые строго больше 5, то есть для $n = 6, 7, 8, \dots$. Наименьший такой номер — это 6. Таким образом, $n_0=6$.
Ответ: $n_0 = 6$.

б) Решим неравенство $|x_n - a| < r$ для заданных значений: $x_n = 3 + \frac{1}{n^2}$, $a = 3$, $r = 0,2$.
$|(3 + \frac{1}{n^2}) - 3| < 0,2$
$|\frac{1}{n^2}| < 0,2$
Так как $n \ge 1$, то $n^2 > 0$, и выражение $\frac{1}{n^2}$ всегда положительно. Знак модуля можно опустить.
$\frac{1}{n^2} < 0,2$
Представим $0,2$ в виде дроби $\frac{2}{10}$ или $\frac{1}{5}$:
$\frac{1}{n^2} < \frac{1}{5}$
Перевернем дроби, изменив знак неравенства:
$n^2 > 5$
Извлечем квадратный корень из обеих частей. Так как $n$ — натуральное число, оно положительно.
$n > \sqrt{5}$
Мы знаем, что $2^2 = 4$ и $3^2 = 9$, значит $2 < \sqrt{5} < 3$. Приблизительное значение $\sqrt{5} \approx 2,236$. Нам нужно найти наименьшее натуральное число $n$, которое больше $\sqrt{5}$. Этим числом является 3.
Ответ: $n_0 = 3$.

в) Решим неравенство $|x_n - a| < r$ для заданных значений: $x_n = 1 + \frac{2}{n^2}$, $a = 1$, $r = 0,01$.
$|(1 + \frac{2}{n^2}) - 1| < 0,01$
$|\frac{2}{n^2}| < 0,01$
Выражение под модулем положительно, так как $n \ge 1$.
$\frac{2}{n^2} < 0,01$
Представим $0,01$ в виде дроби $\frac{1}{100}$:
$\frac{2}{n^2} < \frac{1}{100}$
Умножим обе части на $100n^2$ (это положительное число, знак неравенства не меняется):
$2 \cdot 100 < n^2$
$200 < n^2$
$n > \sqrt{200}$
Оценим значение $\sqrt{200}$. Мы знаем, что $14^2 = 196$ и $15^2 = 225$. Следовательно, $14 < \sqrt{200} < 15$. Приблизительное значение $\sqrt{200} \approx 14,14$. Наименьшее натуральное число $n$, которое больше $\sqrt{200}$, это 15.
Ответ: $n_0 = 15$.

г) Решим неравенство $|x_n - a| < r$ для заданных значений: $x_n = -\frac{3}{n}$, $a = 0$, $r = 0,1$.
$|-\frac{3}{n} - 0| < 0,1$
$|-\frac{3}{n}| < 0,1$
Поскольку $n \ge 1$, то $n$ положи