Номер 38.11, страница 220, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Пользуясь теоремой о пределе монотонной ограниченной последовательности, докажите, что последовательность имеет предел:

38.11. a) $x_n = \frac{3n^2 + 2}{n^2}$;

б) $x_n = \frac{n^2 - 5}{n^2 + 5}$.

В основе решения лежит теорема Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности: всякая монотонная и ограниченная последовательность имеет конечный предел. Чтобы доказать, что последовательность имеет предел, нужно установить ее монотонность (возрастание или убывание) и ограниченность (сверху и снизу).

а) $x_n = \frac{3n^2 + 2}{n^2}$

1. Исследование на монотонность.

Сначала преобразуем выражение для n-го члена последовательности, разделив числитель на знаменатель почленно:

$x_n = \frac{3n^2}{n^2} + \frac{2}{n^2} = 3 + \frac{2}{n^2}$.

Теперь сравним $(n+1)$-й и $n$-й члены последовательности. Рассмотрим их разность:

$x_{n+1} - x_n = \left(3 + \frac{2}{(n+1)^2}\right) - \left(3 + \frac{2}{n^2}\right) = \frac{2}{(n+1)^2} - \frac{2}{n^2}$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$x_{n+1} - x_n = \frac{2n^2 - 2(n+1)^2}{n^2(n+1)^2} = \frac{2n^2 - 2(n^2 + 2n + 1)}{n^2(n+1)^2} = \frac{2n^2 - 2n^2 - 4n - 2}{n^2(n+1)^2} = \frac{-(4n + 2)}{n^2(n+1)^2}$.

Поскольку $n$ — натуральное число ($n \ge 1$), числитель $-(4n + 2)$ всегда отрицателен, а знаменатель $n^2(n+1)^2$ всегда положителен. Следовательно, вся дробь отрицательна:

$x_{n+1} - x_n < 0$, что означает $x_{n+1} < x_n$ для любого $n \ge 1$.

Таким образом, последовательность $\{x_n\}$ является строго убывающей, а значит, она монотонна.

2. Исследование на ограниченность.

Так как последовательность является убывающей, она ограничена сверху своим первым членом:

$x_1 = 3 + \frac{2}{1^2} = 5$. Значит, $x_n \le 5$ для всех $n \ge 1$.

Теперь докажем, что последовательность ограничена снизу. Для любого натурального $n$ справедливо $n^2 > 0$, а значит, и дробь $\frac{2}{n^2} > 0$.

Следовательно, $x_n = 3 + \frac{2}{n^2} > 3$.

Мы показали, что для любого $n \in \mathbb{N}$ выполняется двойное неравенство $3 < x_n \le 5$, что означает, что последовательность $\{x_n\}$ ограничена.

Поскольку последовательность $\{x_n\}$ является монотонной (убывает) и ограниченной, по теореме Вейерштрасса она имеет предел.

Ответ: Последовательность монотонно убывает и ограничена снизу, следовательно, имеет предел.

б) $x_n = \frac{n^2 - 5}{n^2 + 5}$

1. Исследование на монотонность.

Преобразуем выражение для n-го члена, выделив целую часть:

$x_n = \frac{n^2 + 5 - 10}{n^2 + 5} = \frac{n^2 + 5}{n^2 + 5} - \frac{10}{n^2 + 5} = 1 - \frac{10}{n^2 + 5}$.

Рассмотрим разность $(n+1)$-го и $n$-го членов:

$x_{n+1} - x_n = \left(1 - \frac{10}{(n+1)^2 + 5}\right) - \left(1 - \frac{10}{n^2 + 5}\right) = \frac{10}{n^2 + 5} - \frac{10}{(n+1)^2 + 5}$.

Приведем к общему знаменателю:

$x_{n+1} - x_n = \frac{10((n+1)^2 + 5) - 10(n^2 + 5)}{(n^2 + 5)((n+1)^2 + 5)} = \frac{10(n^2 + 2n + 1 + 5) - 10(n^2 + 5)}{(n^2 + 5)((n+1)^2 + 5)} = \frac{10n^2 + 20n + 60 - 10n^2 - 50}{(n^2 + 5)((n+1)^2 + 5)} = \frac{20n + 10}{(n^2 + 5)((n+1)^2 + 5)}$.

Для любого натурального $n \ge 1$ числитель $20n + 10$ положителен. Знаменатель $(n^2 + 5)((n+1)^2 + 5)$ также всегда положителен. Значит, вся дробь положительна:

$x_{n+1} - x_n > 0$, что означает $x_{n+1} > x_n$ для любого $n \ge 1$.

Таким образом, последовательность $\{x_n\}$ является строго возрастающей, а значит, она монотонна.

2. Исследование на ограниченность.

Так как последовательность возрастает, она ограничена снизу своим первым членом:

$x_1 = \frac{1^2 - 5}{1^2 + 5} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$. Значит, $x_n \ge -\frac{2}{3}$ для всех $n \ge 1$.

Теперь докажем, что последовательность ограничена сверху. Для любого натурального $n$ имеем $n^2 + 5 > 0$, следовательно, дробь $\frac{10}{n^2 + 5} > 0$.

Тогда $x_n = 1 - \frac{10}{n^2 + 5} < 1$.

Мы показали, что для любого $n \in \mathbb{N}$ выполняется неравенство $-\frac{2}{3} \le x_n < 1$, что означает, что последовательность $\{x_n\}$ ограничена.

Поскольку последовательность $\{x_n\}$ является монотонной (возрастает) и ограниченной, по теореме Вейерштрасса она имеет предел.

Ответ: Последовательность монотонно возрастает и ограничена сверху, следовательно, имеет предел.