Номер 38.12, страница 220, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

38.12. a) $x_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \dots + \frac{1}{2^n};$

б) $x_n = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \dots + \frac{1}{2n}.$

а) Последовательность $x_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + ... + \frac{1}{2^n}$ представляет собой сумму первых $n+1$ членов геометрической прогрессии.
Первый член этой прогрессии $b_1 = 1$, а знаменатель $q = \frac{1}{2}$.
Сумма конечной геометрической прогрессии вычисляется по формуле $S_k = b_1 \frac{1-q^k}{1-q}$.
В нашем случае число членов равно $n+1$, поэтому выражение для $x_n$ можно записать в замкнутой форме:
$x_n = 1 \cdot \frac{1 - (\frac{1}{2})^{n+1}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1 - \frac{1}{2^{n+1}}}{\frac{1}{2}} = 2 \left(1 - \frac{1}{2^{n+1}}\right) = 2 - \frac{2}{2^{n+1}} = 2 - \frac{1}{2^n}$.
Теперь найдем предел последовательности $x_n$ при $n \to \infty$:
$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \left(2 - \frac{1}{2^n}\right)$.
Поскольку $\lim_{n \to \infty} 2^n = \infty$, то $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^n} = 0$.
Следовательно, предел последовательности равен: $\lim_{n \to \infty} x_n = 2 - 0 = 2$.
Ответ: $\lim_{n \to \infty} x_n = 2$.

б) Рассмотрим последовательность $x_n = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + ... + \frac{1}{2n}$.
Эту сумму можно записать с помощью знака суммирования: $x_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k}$.
Преобразуем выражение, чтобы оно соответствовало форме интегральной суммы Римана:
$x_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n(1 + \frac{k}{n})} = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1 + \frac{k}{n}}$.
Данное выражение является интегральной суммой для функции $f(x) = \frac{1}{1+x}$ на отрезке $[0, 1]$. Отрезок разбит на $n$ равных частей длиной $\Delta x = \frac{1}{n}$, а в качестве точек для вычисления функции выбраны правые концы подынтервалов $x_k = \frac{k}{n}$.
Согласно определению определенного интеграла, предел такой суммы при $n \to \infty$ равен интегралу от функции $f(x)$ на соответствующем отрезке:
$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1 + \frac{k}{n}} = \int_{0}^{1} \frac{1}{1+x} dx$.
Вычислим полученный интеграл:
$\int_{0}^{1} \frac{1}{1+x} dx = [\ln|1+x|]_{0}^{1} = \ln(1+1) - \ln(1+0) = \ln(2) - \ln(1) = \ln(2) - 0 = \ln(2)$.
Ответ: $\lim_{n \to \infty} x_n = \ln(2)$.