Номер 38.17, страница 221, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

38.17. a) $x_n = \frac{2n^2 - 1}{n^2}$;

б) $x_n = \frac{1 + 2n + n^2}{n^2}$;

В) $x_n = \frac{3 - n^2}{n^2}$;

Г) $x_n = \frac{3n - 4 - 2n^2}{n^2}$.

а) Для нахождения предела последовательности $x_n = \frac{2n^2 - 1}{n^2}$ при $n \to \infty$, преобразуем выражение, разделив числитель почленно на знаменатель:
$x_n = \frac{2n^2}{n^2} - \frac{1}{n^2} = 2 - \frac{1}{n^2}$
Теперь найдем предел этой последовательности:
$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \left(2 - \frac{1}{n^2}\right)$
Поскольку при $n \to \infty$ слагаемое $\frac{1}{n^2}$ стремится к нулю, то есть $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} = 0$, предел последовательности равен:
$\lim_{n \to \infty} x_n = 2 - 0 = 2$
Ответ: 2

б) Для нахождения предела последовательности $x_n = \frac{1 + 2n + n^2}{n^2}$ при $n \to \infty$, заметим, что выражение в числителе является полным квадратом суммы: $1 + 2n + n^2 = (1+n)^2$.
Тогда выражение для $x_n$ можно переписать в следующем виде:
$x_n = \frac{(n+1)^2}{n^2} = \left(\frac{n+1}{n}\right)^2 = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^2$
Найдем предел:
$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^2$
Так как при $n \to \infty$ слагаемое $\frac{1}{n}$ стремится к нулю ($\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$), получаем:
$\lim_{n \to \infty} x_n = (1 + 0)^2 = 1^2 = 1$
Ответ: 1

в) Для нахождения предела последовательности $x_n = \frac{3 - n^2}{n^2}$ при $n \to \infty$, разделим числитель почленно на знаменатель:
$x_n = \frac{3}{n^2} - \frac{n^2}{n^2} = \frac{3}{n^2} - 1$
Вычислим предел полученного выражения:
$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{3}{n^2} - 1\right)$
При $n \to \infty$ слагаемое $\frac{3}{n^2}$ стремится к нулю ($\lim_{n \to \infty} \frac{3}{n^2} = 0$), следовательно, предел последовательности равен:
$\lim_{n \to \infty} x_n = 0 - 1 = -1$
Ответ: -1

г) Для нахождения предела последовательности $x_n = \frac{3n - 4 - 2n^2}{n^2}$ при $n \to \infty$, преобразуем выражение, разделив каждый член числителя на знаменатель $n^2$:
$x_n = \frac{3n}{n^2} - \frac{4}{n^2} - \frac{2n^2}{n^2} = \frac{3}{n} - \frac{4}{n^2} - 2$
Теперь найдем предел:
$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{3}{n} - \frac{4}{n^2} - 2\right)$
При $n \to \infty$ слагаемые $\frac{3}{n}$ и $\frac{4}{n^2}$ стремятся к нулю ($\lim_{n \to \infty} \frac{3}{n} = 0$ и $\lim_{n \to \infty} \frac{4}{n^2} = 0$). В результате получаем:
$\lim_{n \to \infty} x_n = 0 - 0 - 2 = -2$
Ответ: -2