Номер 38.22, страница 222, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

38.22. Найдите сумму геометрической прогрессии $(b_n)$, если:

а) $b_1 = 3, q = \frac{1}{3};$

в) $b_1 = -1, q = 0,2;$

б) $b_1 = -5, q = -0,1;$

г) $b_1 = 2, q = -\frac{1}{3}.$

Для нахождения суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии используется формула $S = \frac{b_1}{1-q}$, где $S$ - сумма прогрессии, $b_1$ - ее первый член, а $q$ - знаменатель. Эта формула применима, если модуль знаменателя меньше единицы, то есть $|q| < 1$.

а)

Даны первый член прогрессии $b_1 = 3$ и знаменатель $q = \frac{1}{3}$.

Проверим условие сходимости прогрессии: $|q| = |\frac{1}{3}| = \frac{1}{3} < 1$. Условие выполняется, следовательно, можно найти сумму прогрессии.

Подставим значения в формулу суммы:

$S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{3}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{3}{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}} = \frac{3}{\frac{2}{3}} = 3 \cdot \frac{3}{2} = \frac{9}{2} = 4,5$.

Ответ: $4,5$.

б)

Даны первый член прогрессии $b_1 = -5$ и знаменатель $q = -0,1$.

Проверим условие сходимости: $|q| = |-0,1| = 0,1 < 1$. Условие выполняется.

Подставим значения в формулу суммы:

$S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{-5}{1 - (-0,1)} = \frac{-5}{1 + 0,1} = \frac{-5}{1,1} = -\frac{50}{11} = -4\frac{6}{11}$.

Ответ: $-4\frac{6}{11}$.

в)

Даны первый член прогрессии $b_1 = -1$ и знаменатель $q = 0,2$.

Проверим условие сходимости: $|q| = |0,2| = 0,2 < 1$. Условие выполняется.

Подставим значения в формулу суммы:

$S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{-1}{1 - 0,2} = \frac{-1}{0,8} = -\frac{10}{8} = -\frac{5}{4} = -1,25$.

Ответ: $-1,25$.

г)

Даны первый член прогрессии $b_1 = 2$ и знаменатель $q = -\frac{1}{3}$.

Проверим условие сходимости: $|q| = |-\frac{1}{3}| = \frac{1}{3} < 1$. Условие выполняется.

Подставим значения в формулу суммы:

$S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{2}{1 - (-\frac{1}{3})} = \frac{2}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{2}{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}} = \frac{2}{\frac{4}{3}} = 2 \cdot \frac{3}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1,5$.

Ответ: $1,5$.