Номер 38.21, страница 222, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

38.21. a) $\lim_{n \to \infty} \frac{2 \cdot 3^n + 3 \cdot 4^n}{2^n - 6 \cdot 4^n}$;

б) $\lim_{n \to \infty} \frac{3 \cdot 5^n - 7 \cdot 4^n}{2^n + 6 \cdot 5^n}$.

а) Чтобы найти предел $\lim_{n \to \infty} \frac{2 \cdot 3^n + 3 \cdot 4^n}{2^n - 6 \cdot 4^n}$, мы сталкиваемся с неопределенностью вида $\frac{\infty}{\infty}$. Для решения подобных задач, где переменная находится в показателе степени, следует разделить числитель и знаменатель на член с наибольшим основанием. В данном случае это $4^n$.

Выполним деление: $$ \lim_{n \to \infty} \frac{2 \cdot 3^n + 3 \cdot 4^n}{2^n - 6 \cdot 4^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2 \cdot 3^n}{4^n} + \frac{3 \cdot 4^n}{4^n}}{\frac{2^n}{4^n} - \frac{6 \cdot 4^n}{4^n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2 \cdot (\frac{3}{4})^n + 3}{(\frac{2}{4})^n - 6} = \lim_{n \to \infty} \frac{2 \cdot (\frac{3}{4})^n + 3}{(\frac{1}{2})^n - 6} $$

Мы знаем, что если основание степени $q$ по модулю меньше единицы ($|q| < 1$), то предел такой последовательности при $n \to \infty$ равен нулю: $\lim_{n \to \infty} q^n = 0$. В нашем случае: $$ \lim_{n \to \infty} \left(\frac{3}{4}\right)^n = 0 $$ $$ \lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n = 0 $$

Подставляя эти значения в выражение для предела, получаем: $$ \frac{2 \cdot 0 + 3}{0 - 6} = \frac{3}{-6} = -\frac{1}{2} $$

Ответ: $-\frac{1}{2}$.

б) Рассмотрим предел $\lim_{n \to \infty} \frac{3 \cdot 5^n - 7 \cdot 4^n}{2^n + 6 \cdot 5^n}$. Здесь также имеется неопределенность вида $\frac{\infty}{\infty}$. Поступаем аналогично предыдущему пункту: находим наибольшее основание (это 5) и делим на него в степени $n$, то есть на $5^n$.

Производим деление числителя и знаменателя: $$ \lim_{n \to \infty} \frac{3 \cdot 5^n - 7 \cdot 4^n}{2^n + 6 \cdot 5^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{3 \cdot 5^n}{5^n} - \frac{7 \cdot 4^n}{5^n}}{\frac{2^n}{5^n} + \frac{6 \cdot 5^n}{5^n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{3 - 7 \cdot (\frac{4}{5})^n}{(\frac{2}{5})^n + 6} $$

Основания $\frac{4}{5}$ и $\frac{2}{5}$ по модулю меньше единицы, поэтому их пределы при $n \to \infty$ равны нулю: $$ \lim_{n \to \infty} \left(\frac{4}{5}\right)^n = 0 $$ $$ \lim_{n \to \infty} \left(\frac{2}{5}\right)^n = 0 $$

Подставляем нулевые пределы в наше выражение: $$ \frac{3 - 7 \cdot 0}{0 + 6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} $$

Ответ: $\frac{1}{2}$.