Номер 38.28, страница 223, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

38.28. Найдите сумму геометрической прогрессии ($b_n$), если:

а) $b_n = \frac{25}{3^n};$

б) $b_n = (-1)^n \frac{13}{2^{n-1}};$

в) $b_n = \frac{45}{3^n};$

г) $b_n = (-1)^{n-1} \frac{7}{6^{n-2}}.$

а) Для нахождения суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии $(b_n)$ используется формула $S = \frac{b_1}{1-q}$, где $|q|<1$.
Дан n-ый член прогрессии $b_n = \frac{25}{3^n}$.
Найдем первый член $b_1$ и знаменатель $q$.
Первый член: $b_1 = \frac{25}{3^1} = \frac{25}{3}$.
Второй член: $b_2 = \frac{25}{3^2} = \frac{25}{9}$.
Знаменатель: $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{25/9}{25/3} = \frac{25}{9} \cdot \frac{3}{25} = \frac{1}{3}$.
Так как $|q| = \frac{1}{3} < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей.
Найдем ее сумму:
$S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{25/3}{1 - 1/3} = \frac{25/3}{2/3} = \frac{25}{2} = 12.5$.
Ответ: $12.5$.

б) Дан n-ый член прогрессии $b_n = (-1)^n \frac{13}{2^{n-1}}$.
Найдем первый член $b_1$ и знаменатель $q$.
Первый член: $b_1 = (-1)^1 \frac{13}{2^{1-1}} = -1 \cdot \frac{13}{2^0} = -13$.
Второй член: $b_2 = (-1)^2 \frac{13}{2^{2-1}} = 1 \cdot \frac{13}{2^1} = \frac{13}{2}$.
Знаменатель: $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{13/2}{-13} = -\frac{1}{2}$.
Так как $|q| = |-\frac{1}{2}| = \frac{1}{2} < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей.
Найдем ее сумму по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$:
$S = \frac{-13}{1 - (-\frac{1}{2})} = \frac{-13}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{-13}{3/2} = -13 \cdot \frac{2}{3} = -\frac{26}{3}$.
Ответ: $-\frac{26}{3}$.

в) Дан n-ый член прогрессии $b_n = \frac{45}{3^n}$.
Найдем первый член $b_1$ и знаменатель $q$.
Первый член: $b_1 = \frac{45}{3^1} = 15$.
Второй член: $b_2 = \frac{45}{3^2} = \frac{45}{9} = 5$.
Знаменатель: $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$.
Так как $|q| = \frac{1}{3} < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей.
Найдем ее сумму по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$:
$S = \frac{15}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{15}{2/3} = 15 \cdot \frac{3}{2} = \frac{45}{2} = 22.5$.
Ответ: $22.5$.

г) Дан n-ый член прогрессии $b_n = (-1)^{n-1} \frac{7}{6^{n-2}}$.
Найдем первый член $b_1$ и знаменатель $q$.
Первый член: $b_1 = (-1)^{1-1} \frac{7}{6^{1-2}} = (-1)^0 \frac{7}{6^{-1}} = 1 \cdot (7 \cdot 6^1) = 42$.
Второй член: $b_2 = (-1)^{2-1} \frac{7}{6^{2-2}} = (-1)^1 \frac{7}{6^0} = -1 \cdot 7 = -7$.
Знаменатель: $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-7}{42} = -\frac{1}{6}$.
Так как $|q| = |-\frac{1}{6}| = \frac{1}{6} < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей.
Найдем ее сумму по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$:
$S = \frac{42}{1 - (-\frac{1}{6})} = \frac{42}{1 + \frac{1}{6}} = \frac{42}{7/6} = 42 \cdot \frac{6}{7} = 6 \cdot 6 = 36$.
Ответ: $36$.