Номер 38.31, страница 223, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

38.31. а) Составьте геометрическую прогрессию, если известно, что её сумма равна 18, а сумма квадратов её членов равна 162.

б) Найдите сумму квадратов членов геометрической прогрессии, если известно, что её сумма равна 2, а сумма кубов её членов равна $1\frac{1}{7}$.

а)

Пусть искомая геометрическая прогрессия имеет первый член $b_1$ и знаменатель $q$. Поскольку сумма её членов конечна, прогрессия является бесконечно убывающей, что означает $|q| < 1$.

Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле: $S = \frac{b_1}{1-q}$

По условию задачи, сумма членов прогрессии равна 18, следовательно: $\frac{b_1}{1-q} = 18$ (1)

Рассмотрим последовательность квадратов членов исходной прогрессии: $b_1^2, (b_1q)^2, (b_1q^2)^2, \dots$ или $b_1^2, b_1^2q^2, b_1^2q^4, \dots$. Это также геометрическая прогрессия с первым членом $b_1^2$ и знаменателем $q^2$. Так как $|q| < 1$, то и $|q^2| < 1$, значит, эта прогрессия тоже является бесконечно убывающей. Её сумма $S_2$ равна: $S_2 = \frac{b_1^2}{1-q^2}$

По условию, сумма квадратов членов равна 162: $\frac{b_1^2}{1-q^2} = 162$ (2)

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $b_1$ и $q$: $\begin{cases} \frac{b_1}{1-q} = 18 \\ \frac{b_1^2}{1-q^2} = 162 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $b_1$: $b_1 = 18(1-q)$

Подставим это выражение во второе уравнение, предварительно разложив знаменатель на множители: $\frac{(18(1-q))^2}{(1-q)(1+q)} = 162$

$\frac{18^2 (1-q)^2}{(1-q)(1+q)} = 162$

Поскольку $|q| < 1$, то $1-q \neq 0$, и мы можем сократить дробь на $(1-q)$: $\frac{324(1-q)}{1+q} = 162$

Разделим обе части уравнения на 162: $\frac{2(1-q)}{1+q} = 1$

$2(1-q) = 1+q$

$2 - 2q = 1 + q$

$2 - 1 = q + 2q$

$1 = 3q$

$q = \frac{1}{3}$

Найденное значение знаменателя удовлетворяет условию $|q| < 1$.

Теперь найдем первый член прогрессии, подставив значение $q$ в выражение для $b_1$: $b_1 = 18(1 - \frac{1}{3}) = 18 \cdot \frac{2}{3} = 12$

Таким образом, мы составили геометрическую прогрессию: её первый член $b_1 = 12$, а знаменатель $q = \frac{1}{3}$.

Ответ: искомая геометрическая прогрессия имеет первый член $b_1=12$ и знаменатель $q=\frac{1}{3}$. Её члены: $12, 4, \frac{4}{3}, \frac{4}{9}, \dots$

б)

Пусть данная геометрическая прогрессия имеет первый член $b_1$ и знаменатель $q$. Так как её сумма конечна, она является бесконечно убывающей, то есть $|q| < 1$.

Сумма её членов $S = \frac{b_1}{1-q}$. По условию, $S=2$: $\frac{b_1}{1-q} = 2$ (1)

Последовательность кубов членов исходной прогрессии $b_1^3, b_1^3q^3, b_1^3q^6, \dots$ также является бесконечно убывающей геометрической прогрессией с первым членом $b_1^3$ и знаменателем $q^3$. Сумма кубов $S_3$ равна: $S_3 = \frac{b_1^3}{1-q^3}$

По условию, сумма кубов равна $1\frac{1}{7} = \frac{8}{7}$: $\frac{b_1^3}{1-q^3} = \frac{8}{7}$ (2)

Нам нужно найти сумму квадратов членов прогрессии, $S_2 = \frac{b_1^2}{1-q^2}$.

Для этого решим систему уравнений (1) и (2) относительно $b_1$ и $q$. Из уравнения (1) выразим $b_1$: $b_1 = 2(1-q)$

Подставим это выражение в уравнение (2): $\frac{(2(1-q))^3}{1-q^3} = \frac{8}{7}$

$\frac{8(1-q)^3}{1-q^3} = \frac{8}{7}$

Разделим обе части на 8 и используем формулу разности кубов $1-q^3 = (1-q)(1+q+q^2)$: $\frac{(1-q)^3}{(1-q)(1+q+q^2)} = \frac{1}{7}$

Сократим дробь на $(1-q)$: $\frac{(1-q)^2}{1+q+q^2} = \frac{1}{7}$

$7(1-q)^2 = 1+q+q^2$

$7(1 - 2q + q^2) = 1+q+q^2$

$7 - 14q + 7q^2 = 1+q+q^2$

Приведем подобные члены, чтобы получить квадратное уравнение: $6q^2 - 15q + 6 = 0$

Разделим уравнение на 3: $2q^2 - 5q + 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$. Корни уравнения: $q_1 = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ $q_2 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$

Поскольку прогрессия бесконечно убывающая, должно выполняться условие $|q| < 1$. Этому условию удовлетворяет только $q = \frac{1}{2}$.

Теперь найдем первый член $b_1$: $b_1 = 2(1-q) = 2(1 - \frac{1}{2}) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$

Зная $b_1=1$ и $q=\frac{1}{2}$, мы можем найти сумму квадратов членов прогрессии: $S_2 = \frac{b_1^2}{1-q^2} = \frac{1^2}{1 - (\frac{1}{2})^2} = \frac{1}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3}$

Ответ: $\frac{4}{3}$.