Номер 38.34, страница 223, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

38.34. а) $2 + 4 + 6 + ... + 20 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ...;$

б) $1 + 3 + 5 + ... + 99 + \frac{2}{5} - \frac{4}{25} + \frac{8}{125} - ...;$

в) $21 + 24 + 27 + ... + 51 + \frac{1}{3} - \frac{1}{9} + \frac{1}{27} - ...;$

г) $1 + 4 + 7 + ... + 100 + 0,1 + 0,01 + 0,001 + ...$

а) Данное выражение представляет собой сумму двух последовательностей: конечной арифметической прогрессии $2 + 4 + 6 + \ldots + 20$ и бесконечной геометрической прогрессии $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \ldots$. Вычислим сумму каждой из них.

1. Для арифметической прогрессии имеем: первый член $a_1 = 2$, разность $d = 2$, последний член $a_n = 20$. Найдем количество членов $n$ по формуле $a_n = a_1 + (n-1)d$:
$20 = 2 + (n-1) \cdot 2$
$18 = 2(n-1)$
$n-1 = 9 \Rightarrow n = 10$.
Сумма $S_1$ этой прогрессии равна: $S_1 = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \frac{2 + 20}{2} \cdot 10 = 11 \cdot 10 = 110$.

2. Для бесконечной геометрической прогрессии имеем: первый член $b_1 = \frac{1}{2}$ и знаменатель $q = \frac{1/4}{1/2} = \frac{1}{2}$. Так как $|q| = \frac{1}{2} < 1$, прогрессия является сходящейся. Ее сумма $S_2$ вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$:
$S_2 = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = 1$.

3. Общая сумма равна $S_1 + S_2 = 110 + 1 = 111$.

Ответ: $111$

б) Выражение состоит из суммы конечной арифметической прогрессии $1 + 3 + 5 + \ldots + 99$ и суммы бесконечной знакочередующейся геометрической прогрессии $\frac{2}{5} - \frac{4}{25} + \frac{8}{125} - \ldots$.

1. Для арифметической прогрессии: $a_1 = 1$, $d = 2$, $a_n = 99$. Найдем количество членов $n$:
$99 = 1 + (n-1) \cdot 2$
$98 = 2(n-1)$
$n-1 = 49 \Rightarrow n = 50$.
Сумма $S_1 = \frac{1 + 99}{2} \cdot 50 = 50 \cdot 50 = 2500$.

2. Для бесконечной геометрической прогрессии: $b_1 = \frac{2}{5}$, знаменатель $q = \frac{-4/25}{2/5} = -\frac{4}{25} \cdot \frac{5}{2} = -\frac{2}{5}$. Так как $|q| = \frac{2}{5} < 1$, сумма $S_2$ существует:
$S_2 = \frac{b_1}{1-q} = \frac{\frac{2}{5}}{1 - (-\frac{2}{5})} = \frac{\frac{2}{5}}{1 + \frac{2}{5}} = \frac{\frac{2}{5}}{\frac{7}{5}} = \frac{2}{7}$.

3. Общая сумма равна $S_1 + S_2 = 2500 + \frac{2}{7} = 2500\frac{2}{7}$.

Ответ: $2500\frac{2}{7}$

в) Выражение состоит из суммы конечной арифметической прогрессии $21 + 24 + 27 + \ldots + 51$ и суммы бесконечной знакочередующейся геометрической прогрессии $\frac{1}{3} - \frac{1}{9} + \frac{1}{27} - \ldots$.

1. Для арифметической прогрессии: $a_1 = 21$, $d = 3$, $a_n = 51$. Найдем количество членов $n$:
$51 = 21 + (n-1) \cdot 3$
$30 = 3(n-1)$
$n-1 = 10 \Rightarrow n = 11$.
Сумма $S_1 = \frac{21 + 51}{2} \cdot 11 = \frac{72}{2} \cdot 11 = 36 \cdot 11 = 396$.

2. Для бесконечной геометрической прогрессии: $b_1 = \frac{1}{3}$, знаменатель $q = \frac{-1/9}{1/3} = -\frac{1}{3}$. Так как $|q| = \frac{1}{3} < 1$, сумма $S_2$ существует:
$S_2 = \frac{b_1}{1-q} = \frac{\frac{1}{3}}{1 - (-\frac{1}{3})} = \frac{\frac{1}{3}}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{4}{3}} = \frac{1}{4}$.

3. Общая сумма равна $S_1 + S_2 = 396 + \frac{1}{4} = 396.25$.

Ответ: $396.25$

г) Выражение состоит из суммы конечной арифметической прогрессии $1 + 4 + 7 + \ldots + 100$ и суммы бесконечной геометрической прогрессии $0,1 + 0,01 + 0,001 + \ldots$.

1. Для арифметической прогрессии: $a_1 = 1$, $d = 3$, $a_n = 100$. Найдем количество членов $n$:
$100 = 1 + (n-1) \cdot 3$
$99 = 3(n-1)$
$n-1 = 33 \Rightarrow n = 34$.
Сумма $S_1 = \frac{1 + 100}{2} \cdot 34 = 101 \cdot 17 = 1717$.

2. Для бесконечной геометрической прогрессии: $b_1 = 0,1$, знаменатель $q = \frac{0,01}{0,1} = 0,1$. Так как $|q| = 0,1 < 1$, сумма $S_2$ существует:
$S_2 = \frac{b_1}{1-q} = \frac{0,1}{1 - 0,1} = \frac{0,1}{0,9} = \frac{1}{9}$.

3. Общая сумма равна $S_1 + S_2 = 1717 + \frac{1}{9} = 1717\frac{1}{9}$.

Ответ: $1717\frac{1}{9}$