Номер 38.32, страница 223, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Вычислите:

38.32. а) $2 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \ldots$;

б) $49 + 7 + 1 + \frac{1}{7} + \ldots$;

в) $\frac{3}{2} - 1 + \frac{2}{3} - \frac{4}{9} + \ldots$;

г) $125 + 25 + 5 + 1 + \ldots$

а) Данная сумма является суммой членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Первый член прогрессии $b_1 = 2$. Найдем знаменатель прогрессии $q$, разделив второй член на первый: $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{1}{2}$. Поскольку модуль знаменателя меньше единицы ($|q| < 1$), сумма существует и вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1 - q}$.
Подставим наши значения в формулу:
$S = \frac{2}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{2}{\frac{1}{2}} = 2 \cdot 2 = 4$.
Ответ: 4.

б) Данная сумма является суммой членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Первый член прогрессии $b_1 = 49$. Найдем знаменатель прогрессии $q$, разделив второй член на первый: $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{7}{49} = \frac{1}{7}$. Поскольку $|q| < 1$, сумма вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1 - q}$.
Подставим наши значения в формулу:
$S = \frac{49}{1 - \frac{1}{7}} = \frac{49}{\frac{7-1}{7}} = \frac{49}{\frac{6}{7}} = 49 \cdot \frac{7}{6} = \frac{343}{6}$.
Ответ: $\frac{343}{6}$.

в) Данная сумма является суммой членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Первый член прогрессии $b_1 = \frac{3}{2}$. Найдем знаменатель прогрессии $q$, разделив второй член на первый: $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-1}{\frac{3}{2}} = -\frac{2}{3}$. Поскольку $|q| = |-\frac{2}{3}| < 1$, сумма вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1 - q}$.
Подставим наши значения в формулу:
$S = \frac{\frac{3}{2}}{1 - (-\frac{2}{3})} = \frac{\frac{3}{2}}{1 + \frac{2}{3}} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{3+2}{3}} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{5}{3}} = \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{5} = \frac{9}{10}$.
Ответ: $\frac{9}{10}$.

г) Данная сумма является суммой членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Первый член прогрессии $b_1 = 125$. Найдем знаменатель прогрессии $q$, разделив второй член на первый: $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{25}{125} = \frac{1}{5}$. Поскольку $|q| < 1$, сумма вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1 - q}$.
Подставим наши значения в формулу:
$S = \frac{125}{1 - \frac{1}{5}} = \frac{125}{\frac{5-1}{5}} = \frac{125}{\frac{4}{5}} = 125 \cdot \frac{5}{4} = \frac{625}{4}$.
Ответ: $\frac{625}{4}$.