Номер 38.37, страница 224, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

38.37. a) $\frac{1}{x} + x + x^2 + x^3 + x^4 + \dots + x^n + \dots = \frac{7}{2};$

б) $2x + 1 + x^2 - x^3 + x^4 - x^5 + \dots = \frac{13}{6}.$

а)

В левой части уравнения находится сумма члена $\frac{1}{x}$ и бесконечной геометрической прогрессии $x + x^2 + x^3 + ...$. Для этой прогрессии первый член $b_1 = x$, а знаменатель $q = \frac{x^2}{x} = x$. Сумма бесконечной геометрической прогрессии существует, если ее знаменатель по модулю меньше единицы, то есть $|q| < 1$, что в данном случае означает $|x| < 1$. Сумма вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$. Таким образом, сумма ряда $x + x^2 + x^3 + ...$ равна $S = \frac{x}{1-x}$.

Теперь подставим найденную сумму в исходное уравнение: $$ \frac{1}{x} + \frac{x}{1-x} = \frac{7}{2} $$ Для решения этого уравнения необходимо учесть область допустимых значений: $x \neq 0$ и $x \neq 1$. Эти условия уже содержатся в требовании $|x| < 1$ за исключением $x=0$. Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю $x(1-x)$: $$ \frac{1 \cdot (1-x) + x \cdot x}{x(1-x)} = \frac{7}{2} $$ $$ \frac{1 - x + x^2}{x - x^2} = \frac{7}{2} $$ Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение): $$ 2(1 - x + x^2) = 7(x - x^2) $$ $$ 2 - 2x + 2x^2 = 7x - 7x^2 $$ Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $$ 2x^2 + 7x^2 - 2x - 7x + 2 = 0 $$ $$ 9x^2 - 9x + 2 = 0 $$ Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $$ D = (-9)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 2 = 81 - 72 = 9 $$ Корни уравнения: $$ x_1 = \frac{-(-9) + \sqrt{9}}{2 \cdot 9} = \frac{9+3}{18} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3} $$ $$ x_2 = \frac{-(-9) - \sqrt{9}}{2 \cdot 9} = \frac{9-3}{18} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3} $$

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию сходимости $|x| < 1$: Для $x_1 = \frac{2}{3}$: $|\frac{2}{3}| < 1$, условие выполняется. Для $x_2 = \frac{1}{3}$: $|\frac{1}{3}| < 1$, условие выполняется. Оба корня являются решениями.

Ответ: $x = \frac{1}{3}$ или $x = \frac{2}{3}$.

б)

Левую часть уравнения можно разбить на выражение $2x+1$ и бесконечный ряд $x^2 - x^3 + x^4 - x^5 + ...$. Этот ряд является бесконечной геометрической прогрессией. Ее первый член $b_1 = x^2$, а знаменатель $q = \frac{-x^3}{x^2} = -x$. Прогрессия сходится при $|q| < 1$, то есть $|-x| < 1$, что равносильно $|x| < 1$. Сумма этой прогрессии вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$: $$ S = \frac{x^2}{1 - (-x)} = \frac{x^2}{1+x} $$

Подставим выражение для суммы ряда в исходное уравнение: $$ 2x + 1 + \frac{x^2}{1+x} = \frac{13}{6} $$ Область допустимых значений: $x \neq -1$, что учтено в условии $|x|<1$. Перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю $6(1+x)$: $$ 2x + 1 - \frac{13}{6} + \frac{x^2}{1+x} = 0 $$ $$ \frac{12x(1+x)}{6(1+x)} + \frac{6(1+x)}{6(1+x)} - \frac{13(1+x)}{6(1+x)} + \frac{6x^2}{6(1+x)} = 0 $$ $$ 12x(1+x) + 6(1+x) - 13(1+x) + 6x^2 = 0 $$ $$ 12x+12x^2 + 6+6x - 13-13x + 6x^2 = 0 $$ Приведем подобные слагаемые: $$ (12x^2+6x^2) + (12x+6x-13x) + (6-13) = 0 $$ $$ 18x^2 + 5x - 7 = 0 $$ Решим полученное квадратное уравнение. Вычислим дискриминант: $$ D = 5^2 - 4 \cdot 18 \cdot (-7) = 25 + 504 = 529 = 23^2 $$ Найдем корни: $$ x_1 = \frac{-5 + \sqrt{529}}{2 \cdot 18} = \frac{-5+23}{36} = \frac{18}{36} = \frac{1}{2} $$ $$ x_2 = \frac{-5 - \sqrt{529}}{2 \cdot 18} = \frac{-5-23}{36} = \frac{-28}{36} = -\frac{7}{9} $$

Проверим выполнение условия сходимости $|x| < 1$: Для $x_1 = \frac{1}{2}$: $|\frac{1}{2}| < 1$, корень подходит. Для $x_2 = -\frac{7}{9}$: $|-\frac{7}{9}| < 1$, корень также подходит. Оба значения являются решениями.

Ответ: $x = \frac{1}{2}$ или $x = -\frac{7}{9}$.