Номер 39.6, страница 226, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

39.6. a) $\lim_{x \to \infty} f(x) = 4$, $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$;

б) $\lim_{x \to \infty} f(x) = 10$, $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -2$;

В) $\lim_{x \to \infty} f(x) = -2$, $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 1$;

Г) $\lim_{x \to \infty} f(x) = 3$, $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -4$.

а) Для нахождения функции $f(x)$, удовлетворяющей условиям $\lim_{x \to \infty} f(x) = 4$ и $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$, можно использовать конструкцию вида $f(x) = a + b \cdot g(x)$, где $g(x)$ имеет разные конечные пределы при $x \to \infty$ и $x \to -\infty$. Возьмем в качестве $g(x)$ функцию $\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$, для которой $\lim_{x \to \infty} g(x) = 1$ и $\lim_{x \to -\infty} g(x) = -1$.
Тогда для функции $f(x) = a + \frac{bx}{\sqrt{x^2+1}}$ ее пределы на бесконечности равны $a+b$ и $a-b$.
Составим систему уравнений, используя заданные значения пределов ($A=4, B=0$):
$ \begin{cases} a+b = 4 \\ a-b = 0 \end{cases} $
Складывая уравнения, получаем $2a = 4$, откуда $a=2$. Вычитая второе уравнение из первого, получаем $2b = 4$, откуда $b=2$.
Таким образом, одна из возможных функций, удовлетворяющих условию, это $f(x) = 2 + \frac{2x}{\sqrt{x^2+1}}$.
Ответ: $f(x) = 2 + \frac{2x}{\sqrt{x^2+1}}$

б) Требуется найти функцию $f(x)$, для которой $\lim_{x \to \infty} f(x) = 10$ и $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -2$.
Воспользуемся тем же подходом, что и в предыдущем пункте, и будем искать функцию в виде $f(x) = a + \frac{bx}{\sqrt{x^2+1}}$.
Заданные значения пределов $A=10$ и $B=-2$. Составляем и решаем систему уравнений для коэффициентов $a$ и $b$:
$ \begin{cases} a+b = 10 \\ a-b = -2 \end{cases} $
Складывая уравнения, получаем $2a = 8$, откуда $a=4$.
Подставляя $a=4$ в первое уравнение, находим $b$: $4+b = 10 \implies b=6$.
Следовательно, искомая функция имеет вид $f(x) = 4 + \frac{6x}{\sqrt{x^2+1}}$.
Ответ: $f(x) = 4 + \frac{6x}{\sqrt{x^2+1}}$

в) Требуется найти функцию $f(x)$, для которой $\lim_{x \to \infty} f(x) = -2$ и $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 1$.
Ищем функцию в виде $f(x) = a + \frac{bx}{\sqrt{x^2+1}}$.
Заданные значения пределов $A=-2$ и $B=1$. Составляем систему:
$ \begin{cases} a+b = -2 \\ a-b = 1 \end{cases} $
Складывая уравнения, получаем $2a = -1$, откуда $a=-\frac{1}{2}$.
Вычитая второе уравнение из первого, получаем $2b = -3$, откуда $b=-\frac{3}{2}$.
Таким образом, искомая функция: $f(x) = -\frac{1}{2} - \frac{3}{2}\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$.
Ответ: $f(x) = -\frac{1}{2} - \frac{3x}{2\sqrt{x^2+1}}$

г) Требуется найти функцию $f(x)$, для которой $\lim_{x \to \infty} f(x) = 3$ и $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -4$.
Ищем функцию в виде $f(x) = a + \frac{bx}{\sqrt{x^2+1}}$.
Заданные значения пределов $A=3$ и $B=-4$. Составляем систему:
$ \begin{cases} a+b = 3 \\ a-b = -4 \end{cases} $
Складывая уравнения, получаем $2a = -1$, откуда $a=-\frac{1}{2}$.
Вычитая второе уравнение из первого, получаем $2b = 7$, откуда $b=\frac{7}{2}$.
Таким образом, искомая функция: $f(x) = -\frac{1}{2} + \frac{7}{2}\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$.
Ответ: $f(x) = -\frac{1}{2} + \frac{7x}{2\sqrt{x^2+1}}$