Номер 39.9, страница 227, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

39.9. а) $lim_{x \to -\infty} h(x) = 1$ и функция ограничена сверху;

б) $lim_{x \to \infty} h(x) = 1$ и функция ограничена снизу;

в) $lim_{x \to \infty} h(x) = 1$ и функция ограничена сверху;

г) $lim_{x \to -\infty} h(x) = 1$ и функция ограничена снизу.

а) Требуется найти функцию $h(x)$, которая удовлетворяет двум условиям: предел функции при $x$, стремящемся к минус бесконечности, равен 1 ($\lim_{x \to -\infty} h(x) = 1$), и функция ограничена сверху.

Рассмотрим в качестве примера функцию $h(x) = 1 - e^x$. Проверим, удовлетворяет ли она заданным условиям.

1. Найдём предел функции при $x \to -\infty$:

$\lim_{x \to -\infty} (1 - e^x) = 1 - \lim_{x \to -\infty} e^x = 1 - 0 = 1$.

Первое условие выполнено.

2. Проверим, ограничена ли функция сверху. Функция $e^x$ принимает строго положительные значения для любого действительного $x$, то есть $e^x > 0$. Следовательно, $-e^x < 0$, и $h(x) = 1 - e^x < 1$ для всех $x$. Это означает, что функция ограничена сверху, например, числом 1. Второе условие также выполнено.

Ответ: $h(x) = 1 - e^x$.

б) Требуется найти функцию $h(x)$, для которой $\lim_{x \to \infty} h(x) = 1$ и функция ограничена снизу.

Рассмотрим в качестве примера функцию $h(x) = 1 + e^{-x}$. Проверим её на соответствие условиям.

1. Найдём предел функции при $x \to \infty$:

$\lim_{x \to \infty} (1 + e^{-x}) = 1 + \lim_{x \to \infty} e^{-x} = 1 + 0 = 1$.

Первое условие выполнено.

2. Проверим, ограничена ли функция снизу. Функция $e^{-x}$ строго положительна для всех действительных $x$, то есть $e^{-x} > 0$. Отсюда следует, что $h(x) = 1 + e^{-x} > 1$ для всех $x$. Значит, функция ограничена снизу, например, числом 1. Второе условие выполнено.

Ответ: $h(x) = 1 + e^{-x}$.

в) Требуется найти функцию $h(x)$, для которой $\lim_{x \to \infty} h(x) = 1$ и функция ограничена сверху.

Рассмотрим в качестве примера функцию $h(x) = 1 - e^{-x}$. Проверим, выполняются ли для неё заданные условия.

1. Найдём предел функции при $x \to \infty$:

$\lim_{x \to \infty} (1 - e^{-x}) = 1 - \lim_{x \to \infty} e^{-x} = 1 - 0 = 1$.

Первое условие выполнено.

2. Проверим, ограничена ли функция сверху. Так как $e^{-x} > 0$ для любого действительного $x$, то $-e^{-x} < 0$. Следовательно, $h(x) = 1 - e^{-x} < 1$ для всех $x$. Это означает, что функция ограничена сверху числом 1. Второе условие также выполнено.

Ответ: $h(x) = 1 - e^{-x}$.

г) Требуется найти функцию $h(x)$, для которой $\lim_{x \to -\infty} h(x) = 1$ и функция ограничена снизу.

Рассмотрим в качестве примера функцию $h(x) = 1 + e^x$. Проверим выполнение условий.

1. Найдём предел функции при $x \to -\infty$:

$\lim_{x \to -\infty} (1 + e^x) = 1 + \lim_{x \to -\infty} e^x = 1 + 0 = 1$.

Первое условие выполнено.

2. Проверим, ограничена ли функция снизу. Поскольку $e^x > 0$ для всех действительных $x$, то $h(x) = 1 + e^x > 1$ для всех $x$. Это означает, что функция ограничена снизу, например, числом 1. Второе условие выполнено.

Ответ: $h(x) = 1 + e^x$.