Номер 39.8, страница 227, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

а) Условие $\lim_{x \to \infty} h(x) = 4$ означает, что прямая $y=4$ является горизонтальной асимптотой графика функции при $x$, стремящемся к плюс бесконечности. Поскольку функция возрастает на всей числовой прямой ($x \in \mathbb{R}$), её значения должны быть меньше предельного значения 4 и приближаться к нему. Следовательно, график функции подходит к асимптоте $y=4$ снизу.

Для построения такого графика можно взять, например, функцию $h(x) = 4 - a^{-x}$ для любого $a > 1$, например $h(x) = 4 - e^{-x}$. Её производная $h'(x) = e^{-x}$ всегда положительна, значит, функция возрастает. Предел при $x \to \infty$ равен 4.

График представляет собой кривую, которая монотонно возрастает. При $x \to -\infty$ значения функции стремятся к $-\infty$. При $x \to \infty$ график неограниченно приближается к прямой $y=4$ снизу.

Ответ: График функции имеет горизонтальную асимптоту $y=4$ при $x \to \infty$. Так как функция возрастает, она приближается к этой асимптоте снизу.

б) Условие $\lim_{x \to -\infty} h(x) = 5$ означает, что прямая $y=5$ является горизонтальной асимптотой графика функции при $x$, стремящемся к минус бесконечности. Поскольку функция убывает на всей числовой прямой, её значения должны быть больше предельного значения 5 и приближаться к нему. Следовательно, график функции подходит к асимптоте $y=5$ сверху.

Примером такой функции может служить $h(x) = 5 - a^{x}$ для любого $a > 1$, например $h(x) = 5 - e^{x}$. Её производная $h'(x) = -e^{x}$ всегда отрицательна, значит, функция убывает. Предел при $x \to -\infty$ равен 5.

График представляет собой кривую, которая монотонно убывает. При $x \to -\infty$ график неограниченно приближается к прямой $y=5$ сверху. При $x \to \infty$ значения функции стремятся к $-\infty$.

Ответ: График функции имеет горизонтальную асимптоту $y=5$ при $x \to -\infty$. Так как функция убывает, она приближается к этой асимптоте сверху.

в) Условие $\lim_{x \to -\infty} h(x) = -2$ означает, что прямая $y=-2$ является горизонтальной асимптотой графика функции при $x$, стремящемся к минус бесконечности. Поскольку функция возрастает на всей числовой прямой, её значения должны быть меньше предельного значения -2 и приближаться к нему. Следовательно, график функции подходит к асимптоте $y=-2$ снизу.

Примером такой функции может служить $h(x) = -2 + a^{x}$ для любого $a > 1$, например $h(x) = -2 + e^{x}$. Её производная $h'(x) = e^{x}$ всегда положительна, значит, функция возрастает. Предел при $x \to -\infty$ равен -2.

График представляет собой кривую, которая монотонно возрастает. При $x \to -\infty$ график неограниченно приближается к прямой $y=-2$ снизу. При $x \to \infty$ значения функции стремятся к $+\infty$.

Ответ: График функции имеет горизонтальную асимптоту $y=-2$ при $x \to -\infty$. Так как функция возрастает, она приближается к этой асимптоте снизу.

г) Условие $\lim_{x \to \infty} h(x) = -3$ означает, что прямая $y=-3$ является горизонтальной асимптотой графика функции при $x$, стремящемся к плюс бесконечности. Поскольку функция убывает на всей числовой прямой, её значения должны быть больше предельного значения -3 и приближаться к нему. Следовательно, график функции подходит к асимптоте $y=-3$ сверху.

Примером такой функции может служить $h(x) = -3 + a^{-x}$ для любого $a > 1$, например $h(x) = -3 + e^{-x}$. Её производная $h'(x) = -e^{-x}$ всегда отрицательна, значит, функция убывает. Предел при $x \to \infty$ равен -3.

График представляет собой кривую, которая монотонно убывает. При $x \to -\infty$ значения функции стремятся к $+\infty$. При $x \to \infty$ график неограниченно приближается к прямой $y=-3$ сверху.

Ответ: График функции имеет горизонтальную асимптоту $y=-3$ при $x \to \infty$. Так как функция убывает, она приближается к этой асимптоте сверху.