Номер 39.1, страница 224, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

39.1. Какая из функций, графики которых изображены на рисунках 68–71, имеет предел при $x \to +\infty$? при $x \to -\infty$? при $x \to \infty$?

Для ответа на вопросы необходимо проанализировать поведение каждой из функций при $x$, стремящемся к $+\infty$, $-\infty$ и $\infty$. Существование конечного предела функции на бесконечности означает, что ее график неограниченно приближается к некоторой горизонтальной прямой, называемой горизонтальной асимптотой.

...имеет предел при $x \to +\infty$?

Предел функции существует при $x \to +\infty$, если ее график при движении вправо по оси абсцисс (когда $x$ неограниченно возрастает) приближается к некоторой горизонтальной прямой $y=L$.
- На рисунке 68 график при $x \to +\infty$ асимптотически приближается к некоторой горизонтальной прямой $y=L_1$, где $L_1 > 0$. Следовательно, предел существует.
- На рисунке 69 график при $x \to +\infty$ асимптотически приближается к оси абсцисс ($y=0$). Следовательно, предел существует.
- На рисунке 70 график при $x \to +\infty$ также асимптотически приближается к оси абсцисс ($y=0$). Следовательно, предел существует.
- На рисунке 71 график представляет собой периодическую функцию, значения которой колеблются в некотором диапазоне и не стремятся к одному конкретному числу. Следовательно, предел не существует.
Ответ: функции, графики которых изображены на рисунках 68, 69 и 70.

...имеет предел при $x \to -\infty$?

Предел функции существует при $x \to -\infty$, если ее график при движении влево по оси абсцисс (когда $x$ неограниченно убывает) приближается к некоторой горизонтальной прямой $y=M$.
- На рисунке 68 график при $x \to -\infty$ асимптотически приближается к некоторой горизонтальной прямой $y=L_2$, где $L_2 < 0$. Следовательно, предел существует.
- На рисунке 69 график при $x \to -\infty$ асимптотически приближается к оси абсцисс ($y=0$). Следовательно, предел существует.
- На рисунке 70 при $x \to -\infty$ значения функции неограниченно возрастают ($f(x) \to +\infty$). Следовательно, конечный предел не существует.
- На рисунке 71 график, как и при $x \to +\infty$, колеблется и не стремится к конкретному значению. Следовательно, предел не существует.
Ответ: функции, графики которых изображены на рисунках 68 и 69.

...имеет предел при $x \to \infty$?

Предел функции существует при $x \to \infty$, если существуют и равны между собой пределы при $x \to +\infty$ и при $x \to -\infty$. То есть, должно выполняться условие $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} f(x) = L$. Графически это означает, что график функции и справа, и слева приближается к одной и той же горизонтальной асимптоте.
- На рисунке 68 пределы при $x \to +\infty$ и $x \to -\infty$ существуют, но они не равны (один положителен, другой отрицателен). Значит, предел при $x \to \infty$ не существует.
- На рисунке 69 пределы при $x \to +\infty$ и $x \to -\infty$ существуют и оба равны нулю. Значит, предел при $x \to \infty$ существует (и равен 0).
- На рисунке 70 предел при $x \to -\infty$ не существует. Значит, предел при $x \to \infty$ не существует.
- На рисунке 71 пределы при $x \to +\infty$ и $x \to -\infty$ не существуют. Значит, предел при $x \to \infty$ не существует.
Ответ: функция, график которой изображен на рисунке 69.