Номер 38.38, страница 224, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

38.38. Решите уравнение:

a) $\sin x + \sin^2 x + \sin^3 x + \dots + \sin^n x + \dots = 5;$

б) $\cos x - \cos^2 x + \cos^3 x - \dots + (-1)^{n-1}\cos^n x + \dots = 2;$

в) $1 + \sin^2 x + \sin^4 x + \dots + (\sin x)^{2n-2} + \dots = \frac{4}{3};$

г) $7\cos^3 x + 7\cos^6 x + \dots + 7(\cos x)^{3n} + \dots = 1.$

а)

Левая часть уравнения $ \sin x + \sin^2 x + \sin^3 x + \ldots = 5 $ представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Первый член этой прогрессии $ b_1 = \sin x $, а знаменатель $ q = \sin x $. Сумма такой прогрессии вычисляется по формуле $ S = \frac{b_1}{1-q} $ при условии сходимости, то есть $ |q| < 1 $. В данном случае, $ |\sin x| < 1 $.

Подставим значения в формулу суммы и приравняем к 5:

$ \frac{\sin x}{1 - \sin x} = 5 $

Решим полученное уравнение:

$ \sin x = 5(1 - \sin x) $
$ \sin x = 5 - 5\sin x $
$ 6\sin x = 5 $
$ \sin x = \frac{5}{6} $

Проверим условие сходимости: $ |\frac{5}{6}| < 1 $. Условие выполняется, следовательно, решение существует.

Теперь найдем $ x $:

$ x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{5}{6}\right) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{5}{6}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

б)

Левая часть уравнения $ \cos x - \cos^2 x + \cos^3 x - \ldots = 2 $ является суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Первый член прогрессии $ b_1 = \cos x $, знаменатель $ q = -\cos x $. Условие сходимости ряда: $ |q| < 1 $, то есть $ |-\cos x| < 1 $ или $ |\cos x| < 1 $.

Формула суммы: $ S = \frac{b_1}{1-q} = \frac{\cos x}{1 - (-\cos x)} = \frac{\cos x}{1 + \cos x} $.

Приравняем сумму к 2:

$ \frac{\cos x}{1 + \cos x} = 2 $

Решим это уравнение:

$ \cos x = 2(1 + \cos x) $
$ \cos x = 2 + 2\cos x $
$ -\cos x = 2 $
$ \cos x = -2 $

Полученное уравнение не имеет решений, так как область значений функции косинус $ [-1, 1] $. Кроме того, если бы решение существовало, оно бы не удовлетворяло условию сходимости $ |\cos x| < 1 $, поскольку $ |-2| \not< 1 $. Следовательно, исходное уравнение не имеет корней.

Ответ: корней нет.

в)

Левая часть уравнения $ 1 + \sin^2 x + \sin^4 x + \ldots = \frac{4}{3} $ — это сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Первый член прогрессии $ b_1 = 1 $, знаменатель $ q = \sin^2 x $. Условие сходимости: $ |q| < 1 $, то есть $ |\sin^2 x| < 1 $. Поскольку $ \sin^2 x \ge 0 $, условие равносильно $ \sin^2 x < 1 $, что означает $ \sin x \neq \pm 1 $.

Сумма прогрессии: $ S = \frac{b_1}{1-q} = \frac{1}{1 - \sin^2 x} $. Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $, получаем $ 1 - \sin^2 x = \cos^2 x $. Тогда сумма равна $ S = \frac{1}{\cos^2 x} $.

Составим уравнение:

$ \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{4}{3} $

Отсюда находим $ \cos^2 x $: $ \cos^2 x = \frac{3}{4} $

Из этого следует, что $ \cos x = \pm\frac{\sqrt{3}}{2} $. Проверим условие сходимости. Если $ \cos^2 x = \frac{3}{4} $, то $ \sin^2 x = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} $. Так как $ \frac{1}{4} < 1 $, условие $ |\sin^2 x| < 1 $ выполняется.

Решим уравнения $ \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} $ и $ \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2} $.

1) $ \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

2) $ \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \implies x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

Эти две серии решений можно объединить в одну формулу:

$ x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

г)

Рассмотрим уравнение $ 7\cos^3 x + 7\cos^6 x + \ldots + 7(\cos x)^{3n} + \ldots = 1 $. Вынесем 7 за скобки: $ 7(\cos^3 x + \cos^6 x + \ldots) = 1 $. Выражение в скобках является суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Первый член этой прогрессии $ b_1 = \cos^3 x $, а знаменатель $ q = \frac{\cos^6 x}{\cos^3 x} = \cos^3 x $. Условие сходимости: $ |q| < 1 $, то есть $ |\cos^3 x| < 1 $.

Сумма прогрессии в скобках: $ S' = \frac{b_1}{1-q} = \frac{\cos^3 x}{1 - \cos^3 x} $.

Подставим это в исходное уравнение:

$ 7 \cdot \frac{\cos^3 x}{1 - \cos^3 x} = 1 $

Решим полученное уравнение:

$ 7\cos^3 x = 1 - \cos^3 x $
$ 8\cos^3 x = 1 $
$ \cos^3 x = \frac{1}{8} $

Проверим условие сходимости: $ |\frac{1}{8}| < 1 $. Условие выполнено.

Из $ \cos^3 x = \frac{1}{8} $ следует $ \cos x = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2} $.

Решим уравнение $ \cos x = \frac{1}{2} $:

$ x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.