Номер 39.12, страница 227, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

39.12. a) $ \lim_{x\to\infty} \left(\frac{2}{x^9} + 1\right); $

Б) $ \lim_{x\to\infty} \left(\frac{6}{x^5} + \frac{4}{x^2} + 9\right); $

б) $ \lim_{x\to\infty} \left(\frac{4}{x^3} - \frac{7}{x} - 21\right); $

г) $ \lim_{x\to\infty} \left(\frac{7}{x^2} - 7\right). $

а)

Для вычисления предела $\lim_{x\to\infty} \left(\frac{2}{x^9} + 1\right)$, воспользуемся свойством предела суммы, которое гласит, что предел суммы равен сумме пределов: $$ \lim_{x\to\infty} \left(\frac{2}{x^9} + 1\right) = \lim_{x\to\infty} \frac{2}{x^9} + \lim_{x\to\infty} 1 $$ Рассмотрим каждый предел отдельно.
Первый предел: $\lim_{x\to\infty} \frac{2}{x^9}$. Это предел вида $\lim_{x\to\infty} \frac{C}{x^n}$, где $C$ - константа, а $n > 0$. При $x$, стремящемся к бесконечности, знаменатель $x^9$ также стремится к бесконечности. Следовательно, вся дробь стремится к нулю. $$ \lim_{x\to\infty} \frac{2}{x^9} = 0 $$ Второй предел: $\lim_{x\to\infty} 1$. Предел константы равен самой константе. $$ \lim_{x\to\infty} 1 = 1 $$ Складываем полученные значения: $$ 0 + 1 = 1 $$ Ответ: 1

б)

Вычислим предел $\lim_{x\to\infty} \left(\frac{4}{x^3} - \frac{7}{x} - 21\right)$. Используем свойство линейности предела (предел суммы/разности равен сумме/разности пределов): $$ \lim_{x\to\infty} \left(\frac{4}{x^3} - \frac{7}{x} - 21\right) = \lim_{x\to\infty} \frac{4}{x^3} - \lim_{x\to\infty} \frac{7}{x} - \lim_{x\to\infty} 21 $$ Рассмотрим каждый предел по отдельности.
Пределы дробей, где $x$ в знаменателе, стремятся к нулю при $x \to \infty$: $$ \lim_{x\to\infty} \frac{4}{x^3} = 0 $$ $$ \lim_{x\to\infty} \frac{7}{x} = 0 $$ Предел константы равен самой константе: $$ \lim_{x\to\infty} 21 = 21 $$ Подставляем найденные значения в исходное выражение: $$ 0 - 0 - 21 = -21 $$ Ответ: -21

в)

Найдем предел $\lim_{x\to\infty} \left(\frac{6}{x^5} + \frac{4}{x^2} + 9\right)$. Применим свойство предела суммы: $$ \lim_{x\to\infty} \left(\frac{6}{x^5} + \frac{4}{x^2} + 9\right) = \lim_{x\to\infty} \frac{6}{x^5} + \lim_{x\to\infty} \frac{4}{x^2} + \lim_{x\to\infty} 9 $$ Вычислим каждый предел.
Слагаемые, содержащие $x$ в знаменателе, при $x \to \infty$ стремятся к нулю: $$ \lim_{x\to\infty} \frac{6}{x^5} = 0 $$ $$ \lim_{x\to\infty} \frac{4}{x^2} = 0 $$ Предел постоянной величины равен этой величине: $$ \lim_{x\to\infty} 9 = 9 $$ Суммируем результаты: $$ 0 + 0 + 9 = 9 $$ Ответ: 9

г)

Рассмотрим предел $\lim_{x\to\infty} \left(\frac{7}{x^2} - 7\right)$. Используем свойство предела разности: $$ \lim_{x\to\infty} \left(\frac{7}{x^2} - 7\right) = \lim_{x\to\infty} \frac{7}{x^2} - \lim_{x\to\infty} 7 $$ Вычислим каждый из пределов.
Предел первого слагаемого, где знаменатель стремится к бесконечности, равен нулю: $$ \lim_{x\to\infty} \frac{7}{x^2} = 0 $$ Предел константы равен самой константе: $$ \lim_{x\to\infty} 7 = 7 $$ Находим разность: $$ 0 - 7 = -7 $$ Ответ: -7