Номер 39.13, страница 227, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

39.13. a) $\lim_{x \to \infty} \left(12 - \frac{1}{x^2}\right) \cdot \frac{16}{x^7};$

б) $\lim_{x \to \infty} \left(\frac{5}{x^3} + 1\right) \cdot \left(-\frac{8}{x^2} - 2\right);$

в) $\lim_{x \to \infty} \left(4 + \frac{1}{x^3}\right) \cdot \frac{2}{x^5};$

г) $\lim_{x \to \infty} \left(\frac{7}{x^6} - 2\right) \cdot \left(-\frac{6}{x^{10}} - 3\right).$

а) Для вычисления предела $\lim_{x\to\infty} \left(12 - \frac{1}{x^2}\right) \cdot \frac{16}{x^7}$ воспользуемся свойством предела произведения, которое гласит, что предел произведения равен произведению пределов (если они существуют и конечны).

$\lim_{x\to\infty} \left(12 - \frac{1}{x^2}\right) \cdot \frac{16}{x^7} = \lim_{x\to\infty} \left(12 - \frac{1}{x^2}\right) \cdot \lim_{x\to\infty} \frac{16}{x^7}$

Вычислим каждый предел отдельно. При $x \to \infty$, любая константа, деленная на $x$ в положительной степени, стремится к нулю. То есть, $\lim_{x\to\infty} \frac{c}{x^n} = 0$ при $n > 0$.

Предел первого множителя:
$\lim_{x\to\infty} \left(12 - \frac{1}{x^2}\right) = \lim_{x\to\infty} 12 - \lim_{x\to\infty} \frac{1}{x^2} = 12 - 0 = 12$

Предел второго множителя:
$\lim_{x\to\infty} \frac{16}{x^7} = 16 \cdot \lim_{x\to\infty} \frac{1}{x^7} = 16 \cdot 0 = 0$

Теперь перемножим полученные значения пределов:
$12 \cdot 0 = 0$

Ответ: 0

б) Рассмотрим предел $\lim_{x\to\infty} \left(\frac{5}{x^3} + 1\right) \cdot \left(-\frac{8}{x^2} - 2\right)$.

Используя свойство предела произведения, разделим предел на произведение двух пределов:

$\lim_{x\to\infty} \left(\frac{5}{x^3} + 1\right) \cdot \lim_{x\to\infty} \left(-\frac{8}{x^2} - 2\right)$

Вычислим предел каждого сомножителя.

Предел первого сомножителя:
$\lim_{x\to\infty} \left(\frac{5}{x^3} + 1\right) = \lim_{x\to\infty} \frac{5}{x^3} + \lim_{x\to\infty} 1 = 0 + 1 = 1$

Предел второго сомножителя:
$\lim_{x\to\infty} \left(-\frac{8}{x^2} - 2\right) = \lim_{x\to\infty} \left(-\frac{8}{x^2}\right) - \lim_{x\to\infty} 2 = 0 - 2 = -2$

Перемножим результаты:
$1 \cdot (-2) = -2$

Ответ: -2

в) Найдем значение предела $\lim_{x\to\infty} \left(4 + \frac{1}{x^3}\right) \cdot \frac{2}{x^5}$.

Применим свойство предела произведения:

$\lim_{x\to\infty} \left(4 + \frac{1}{x^3}\right) \cdot \frac{2}{x^5} = \lim_{x\to\infty} \left(4 + \frac{1}{x^3}\right) \cdot \lim_{x\to\infty} \frac{2}{x^5}$

Вычислим каждый предел отдельно.

Предел первого множителя:
$\lim_{x\to\infty} \left(4 + \frac{1}{x^3}\right) = \lim_{x\to\infty} 4 + \lim_{x\to\infty} \frac{1}{x^3} = 4 + 0 = 4$

Предел второго множителя:
$\lim_{x\to\infty} \frac{2}{x^5} = 2 \cdot \lim_{x\to\infty} \frac{1}{x^5} = 2 \cdot 0 = 0$

Произведение пределов:
$4 \cdot 0 = 0$

Ответ: 0

г) Вычислим предел $\lim_{x\to\infty} \left(\frac{7}{x^6} - 2\right) \cdot \left(-\frac{6}{x^{10}} - 3\right)$.

Воспользуемся свойством предела произведения:

$\lim_{x\to\infty} \left(\frac{7}{x^6} - 2\right) \cdot \left(-\frac{6}{x^{10}} - 3\right) = \lim_{x\to\infty} \left(\frac{7}{x^6} - 2\right) \cdot \lim_{x\to\infty} \left(-\frac{6}{x^{10}} - 3\right)$

Найдем предел каждого сомножителя.

Предел первого сомножителя:
$\lim_{x\to\infty} \left(\frac{7}{x^6} - 2\right) = \lim_{x\to\infty} \frac{7}{x^6} - \lim_{x\to\infty} 2 = 0 - 2 = -2$

Предел второго сомножителя:
$\lim_{x\to\infty} \left(-\frac{6}{x^{10}} - 3\right) = \lim_{x\to\infty} \left(-\frac{6}{x^{10}}\right) - \lim_{x\to\infty} 3 = 0 - 3 = -3$

Перемножим полученные значения:
$(-2) \cdot (-3) = 6$

Ответ: 6