Номер 38.23, страница 222, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

38.23. Найдите сумму геометрической прогрессии:

а) $32, 16, 8, 4, 2, ... \,;$

б) $24, -8, \frac{8}{3}, -\frac{8}{9}, ... \,;$

в) $27, 9, 3, 1, \frac{1}{3}, ... \,;$

г) $18, -6, 2, -\frac{2}{3}, ... \,.$

а) Рассматриваемая последовательность $32, 16, 8, 4, 2, \dots$ является геометрической прогрессией. Первый член прогрессии $b_1 = 32$. Для нахождения знаменателя прогрессии $q$ разделим второй член на первый: $q = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}$. Поскольку модуль знаменателя $|q| = \frac{1}{2} < 1$, данная прогрессия является бесконечно убывающей, и ее сумму можно вычислить по формуле $S = \frac{b_1}{1 - q}$. Подставив найденные значения, получим: $S = \frac{32}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{32}{\frac{1}{2}} = 64$.
Ответ: 64

б) Последовательность $24, -8, \frac{8}{3}, -\frac{8}{9}, \dots$ является геометрической прогрессией. Первый член прогрессии $b_1 = 24$. Знаменатель прогрессии $q = \frac{-8}{24} = -\frac{1}{3}$. Модуль знаменателя $|q| = |-\frac{1}{3}| = \frac{1}{3} < 1$, следовательно, прогрессия является бесконечно убывающей. Сумму прогрессии найдем по формуле $S = \frac{b_1}{1 - q}$. Подставляем значения: $S = \frac{24}{1 - (-\frac{1}{3})} = \frac{24}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{24}{\frac{4}{3}} = 24 \cdot \frac{3}{4} = 18$.
Ответ: 18

в) Последовательность $27, 9, 3, 1, \frac{1}{3}, \dots$ является геометрической прогрессией. Первый член прогрессии $b_1 = 27$. Знаменатель прогрессии $q = \frac{9}{27} = \frac{1}{3}$. Так как $|q| = \frac{1}{3} < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей. Ее сумму можно найти по формуле $S = \frac{b_1}{1 - q}$. Вычисляем: $S = \frac{27}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{27}{\frac{2}{3}} = 27 \cdot \frac{3}{2} = \frac{81}{2} = 40,5$.
Ответ: 40,5

г) Последовательность $18, -6, 2, -\frac{2}{3}, \dots$ является геометрической прогрессией. Первый член $b_1 = 18$. Знаменатель прогрессии $q = \frac{-6}{18} = -\frac{1}{3}$. Модуль знаменателя $|q| = |-\frac{1}{3}| = \frac{1}{3} < 1$, значит, прогрессия бесконечно убывающая. Ее сумма вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1 - q}$. Произведем вычисления: $S = \frac{18}{1 - (-\frac{1}{3})} = \frac{18}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{18}{\frac{4}{3}} = 18 \cdot \frac{3}{4} = \frac{54}{4} = \frac{27}{2} = 13,5$.
Ответ: 13,5