Номер 38.20, страница 222, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Вычислите:

38.20. a) $\lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{n(n+1)} \right);$

б) $\lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \dots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} \right).$

Для вычисления таких пределов сначала необходимо найти сумму ряда в общем виде (как функцию от $n$), используя метод разложения дробей на элементарные.

а) $\lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \dots + \frac{1}{n(n+1)} \right)$

Заметим, что общий член суммы можно представить в виде разности:

$$\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$$

Распишем сумму $S_n$:

$S_n = (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \dots + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1})$

В этой "телескопической" сумме все промежуточные слагаемые сокращаются, остаются только первое и последнее:

$S_n = 1 - \frac{1}{n+1}$

Теперь вычислим предел при $n \to \infty$:

$$\lim_{n \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{n+1} \right) = 1 - 0 = 1$$

Ответ: $1$

б) $\lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \dots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} \right)$

Представим общий член в виде разности:

$$\frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1} \right)$$

Коэффициент $\frac{1}{2}$ появляется потому, что разность числителей $(2k+1) - (2k-1)$ дает $2$. Распишем сумму $S_n$:

$S_n = \frac{1}{2} \left( (1 - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) + (\frac{1}{5} - \frac{1}{7}) + \dots + (\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}) \right)$

Снова сокращаем внутренние члены:

$S_n = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2n+1} \right)$

Вычисляем предел:

$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2n+1} \right) = \frac{1}{2} (1 - 0) = 0,5$$

Ответ: $0,5$