Номер 38.20, страница 222, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Вычислите:

38.20. a) $\lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{n(n+1)} \right);$

б) $\lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \dots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} \right).$

а) Требуется вычислить предел суммы: $$ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{n(n+1)} \right) $$

Для нахождения предела сначала найдем выражение для частичной суммы $S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}$.

Общий член суммы можно представить в виде разности двух дробей, используя метод разложения на простейшие дроби:

$$ \frac{1}{k(k+1)} = \frac{A}{k} + \frac{B}{k+1} = \frac{A(k+1) + Bk}{k(k+1)} $$

Отсюда $A(k+1) + Bk = 1$. При $k=0$ получаем $A=1$. При $k=-1$ получаем $-B=1$, то есть $B=-1$.

Таким образом, общий член ряда равен:

$$ \frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} $$

Теперь сумма $S_n$ становится телескопической, то есть такой, в которой большинство слагаемых взаимно уничтожаются:

$$ S_n = \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\right) = \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \dots + \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) $$

Все промежуточные члены сокращаются, и остается только первый и последний член:

$$ S_n = 1 - \frac{1}{n+1} $$

Теперь найдем предел $S_n$ при $n \to \infty$:

$$ \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n+1}\right) = 1 - \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1} = 1 - 0 = 1 $$

Ответ: $1$.

б) Требуется вычислить предел суммы: $$ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \dots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} \right) $$

Найдем выражение для частичной суммы $S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k