Номер 38.7, страница 220, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Постройте график последовательности $(y_n)$ и составьте, если можно, уравнение горизонтальной асимптоты графика:

38.7. a) $y_n = \frac{2}{n}$;

б) $y_n = \left(\frac{1}{3}\right)^n$;

в) $y_n = \frac{4}{n}$;

г) $y_n = \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$.

а) Для последовательности $y_n = \frac{2}{n}$ ее график состоит из набора точек с координатами $(n, y_n)$, где $n$ — натуральное число ($n \in \mathbb{N}$).

Чтобы построить график, вычислим значения первых нескольких членов последовательности:
При $n=1$, $y_1 = \frac{2}{1} = 2$. Точка на графике: $(1, 2)$.
При $n=2$, $y_2 = \frac{2}{2} = 1$. Точка на графике: $(2, 1)$.
При $n=3$, $y_3 = \frac{2}{3}$. Точка на графике: $(3, \frac{2}{3})$.
При $n=4$, $y_4 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$. Точка на графике: $(4, \frac{1}{2})$.
График представляет собой набор дискретных точек, которые с ростом $n$ приближаются к оси абсцисс, оставаясь в первой координатной четверти.

Горизонтальная асимптота графика последовательности — это прямая $y = L$, где $L$ является пределом последовательности при $n \to \infty$. Найдем этот предел:
$\lim_{n \to \infty} y_n = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{n} = 0$.
Поскольку предел существует и равен 0, уравнение горизонтальной асимптоты — $y=0$ (ось абсцисс).
Ответ: График последовательности — это набор точек $(1, 2), (2, 1), (3, \frac{2}{3}), \dots$, которые приближаются к оси $Ox$. Уравнение горизонтальной асимптоты: $y = 0$.

б) Для последовательности $y_n = \left(\frac{1}{3}\right)^n$ ее график состоит из набора точек с координатами $(n, y_n)$, где $n \in \mathbb{N}$.

Вычислим значения первых нескольких членов последовательности:
При $n=1$, $y_1 = \left(\frac{1}{3}\right)^1 = \frac{1}{3}$. Точка на графике: $(1, \frac{1}{3})$.
При $n=2$, $y_2 = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}$. Точка на графике: $(2, \frac{1}{9})$.
При $n=3$, $y_3 = \left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{1}{27}$. Точка на графике: $(3, \frac{1}{27})$.
График представляет собой набор дискретных точек в первой четверти, которые с ростом $n$ очень быстро приближаются к оси абсцисс.

Найдем предел последовательности для определения горизонтальной асимптоты:
$\lim_{n \to \infty} y_n = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{3}\right)^n = 0$.
Предел равен нулю, так как это предел геометрической прогрессии со знаменателем $|q| = \frac{1}{3} < 1$. Уравнение горизонтальной асимптоты — $y=0$.
Ответ: График последовательности — это набор точек $(1, \frac{1}{3}), (2, \frac{1}{9}), (3, \frac{1}{27}), \dots$, которые приближаются к оси $Ox$. Уравнение горизонтальной асимптоты: $y = 0$.

в) Для последовательности $y_n = \frac{4}{n}$ ее график состоит из набора точек с координатами $(n, y_n)$, где $n \in \mathbb{N}$.

Вычислим значения первых нескольких членов последовательности:
При $n=1$, $y_1 = \frac{4}{1} = 4$. Точка на графике: $(1, 4)$.
При $n=2$, $y_2 = \frac{4}{2} = 2$. Точка на графике: $(2, 2)$.
При $n=3$, $y_3 = \frac{4}{3}$. Точка на графике: $(3, \frac{4}{3})$.
При $n=4$, $y_4 = \frac{4}{4} = 1$. Точка на графике: $(4, 1)$.
График представляет собой набор дискретных точек, которые с ростом $n$ приближаются к оси абсцисс, оставаясь в первой координатной четверти.

Найдем предел последовательности для определения горизонтальной асимптоты:
$\lim_{n \to \infty} y_n = \lim_{n \to \infty} \frac{4}{n} = 0$.
Поскольку предел существует и равен 0, уравнение горизонтальной асимптоты — $y=0$.
Ответ: График последовательности — это набор точек $(1, 4), (2, 2), (3, \frac{4}{3}), \dots$, которые приближаются к оси $Ox$. Уравнение горизонтальной асимптоты: $y = 0$.

г) Для последовательности $y_n = \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$ ее график состоит из набора точек с координатами $(n, y_n)$, где $n \in \mathbb{N}$.

Вычислим значения первых нескольких членов последовательности:
При $n=1$, $y_1 = \left(\frac{1}{2}\right)^{1-1} = \left(\frac{1}{2}\right)^0 = 1$. Точка на графике: $(1, 1)$.
При $n=2$, $y_2 = \left(\frac{1}{2}\right)^{2-1} = \frac{1}{2}$. Точка на графике: $(2, \frac{1}{2})$.
При $n=3$, $y_3 = \left(\frac{1}{2}\right)^{3-1} = \frac{1}{4}$. Точка на графике: $(3, \frac{1}{4})$.
При $n=4$, $y_4 = \left(\frac{1}{2}\right)^{4-1} = \frac{1}{8}$. Точка на графике: $(4, \frac{1}{8})$.
График представляет собой набор дискретных точек в первой четверти, которые с ростом $n$ приближаются к оси абсцисс.

Найдем предел последовательности для определения горизонтальной асимптоты:
$\lim_{n \to \infty} y_n = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = 0$.
Предел равен нулю, так как при $n \to \infty$ показатель степени $n-1 \to \infty$, а основание $\frac{1}{2}$ по модулю меньше единицы. Уравнение горизонтальной асимптоты — $y=0$.
Ответ: График последовательности — это набор точек $(1, 1), (2, \frac{1}{2}), (3, \frac{1}{4}), \dots$, которые приближаются к оси $Ox$. Уравнение горизонтальной асимптоты: $y = 0$.