Номер 38.8, страница 220, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

38.8. а) $y_n = -1 + \frac{1}{n};$

б) $y_n = 2 - \frac{1}{n^2};$

В) $y_n = 2 - \frac{2}{n};$

Г) $y_n = -3 + \frac{1}{n^2}.$

а) $y_n = -1 + \frac{1}{n}$

Для полного исследования данной числовой последовательности определим ее монотонность, ограниченность и найдем ее предел.

1. Монотонность.
Чтобы определить, является ли последовательность возрастающей или убывающей, сравним $y_{n+1}$ и $y_n$.
$y_{n+1} = -1 + \frac{1}{n+1}$.
Рассмотрим разность $y_{n+1} - y_n$:
$y_{n+1} - y_n = \left(-1 + \frac{1}{n+1}\right) - \left(-1 + \frac{1}{n}\right) = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n} = \frac{n - (n+1)}{n(n+1)} = \frac{-1}{n(n+1)}$.
Поскольку $n$ — натуральное число, $n > 0$ и $n+1 > 0$, то знаменатель $n(n+1) > 0$. Следовательно, вся дробь $\frac{-1}{n(n+1)} < 0$.
Так как $y_{n+1} - y_n < 0$, то $y_{n+1} < y_n$. Последовательность является строго убывающей.

2. Ограниченность и предел.
Найдем предел последовательности при $n \to \infty$ с использованием свойств пределов:
$\lim_{n \to \infty} y_n = \lim_{n \to \infty} \left(-1 + \frac{1}{n}\right) = \lim_{n \to \infty} (-1) + \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}$.
Известно, что $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$, поэтому:
$\lim_{n \to \infty} y_n = -1 + 0 = -1$.
Поскольку предел существует, последовательность сходится. Так как последовательность убывающая, она ограничена сверху своим первым членом $y_1 = -1 + \frac{1}{1} = 0$. Она ограничена снизу своим пределом. Таким образом, для всех $n$ выполняется неравенство $-1 < y_n \le 0$. Следовательно, последовательность ограничена.

Ответ: Последовательность является строго убывающей, ограниченной ($-1 < y_n \le 0$), ее предел равен -1.

б) $y_n = 2 - \frac{1}{n^2}$

Проведем исследование последовательности: найдем ее предел, определим монотонность и ограниченность.

1. Монотонность.
Рассмотрим разность $y_{n+1} - y_n$:
$y_{n+1} - y_n = \left(2 - \frac{1}{(n+1)^2}\right) - \left(2 - \frac{1}{n^2}\right) = \frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2} = \frac{(n+1)^2 - n^2}{n^2(n+1)^2} = \frac{n^2+2n+1-n^2}{n^2(n+1)^2} = \frac{2n+1}{n^2(n+1)^2}$.
Для любого натурального $n$ числитель $2n+1 > 0$ и знаменатель $n^2(n+1)^2 > 0$, следовательно, $y_{n+1} - y_n > 0$, что означает $y_{n+1} > y_n$.
Последовательность является строго возрастающей.

2. Ограниченность и предел.
Найдем предел последовательности при $n \to \infty$:
$\lim_{n \to \infty} y_n = \lim_{n \to \infty} \left(2 - \frac{1}{n^2}\right) = \lim_{n \to \infty} 2 - \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2}$.
Поскольку $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} = 0$, получаем:
$\lim_{n \to \infty} y_n = 2 - 0 = 2$.
Последовательность сходится. Так как она возрастающая, то ограничена снизу своим первым членом $y_1 = 2 - \frac{1}{1^2} = 1$. Сверху она ограничена своим пределом. Таким образом, $1 \le y_n < 2$. Последовательность ограничена.

Ответ: Последовательность является строго возрастающей, ограниченной ($1 \le y_n < 2$), ее предел равен 2.

в) $y_n = 2 - \frac{2}{n}$

Проведем исследование последовательности: найдем ее предел, определим монотонность и ограниченность.

1. Монотонность.
Рассмотрим разность $y_{n+1} - y_n$:
$y_{n+1} - y_n = \left(2 - \frac{2}{n+1}\right) - \left(2 - \frac{2}{n}\right) = \frac{2}{n} - \frac{2}{n+1} = \frac{2(n+1) - 2n}{n(n+1)} = \frac{2n+2-2n}{n(n+1)} = \frac{2}{n(n+1)}$.
Для любого натурального $n$ выражение $\frac{2}{n(n+1)} > 0$, следовательно $y_{n+1} > y_n$.
Последовательность является строго возрастающей.

2. Ограниченность и предел.
Найдем предел последовательности при $n \to \infty$:
$\lim_{n \to \infty} y_n = \lim_{n \to \infty} \left(2 - \frac{2}{n}\right) = \lim_{n \to \infty} 2 - \lim_{n \to \infty} \frac{2}{n} = 2 - 0 = 2$.
Последовательность сходится. Так как она возрастающая, то ограничена снизу своим первым членом $y_1 = 2 - \frac{2}{1} = 0$. Сверху она ограничена своим пределом. Таким образом, $0 \le y_n < 2$. Последовательность ограничена.

Ответ: Последовательность является строго возрастающей, ограниченной ($0 \le y_n < 2$), ее предел равен 2.

г) $y_n = -3 + \frac{1}{n^2}$

Проведем исследование последовательности: найдем ее предел, определим монотонность и ограниченность.

1. Монотонность.
Рассмотрим разность $y_{n+1} - y_n$:
$y_{n+1} - y_n = \left(-3 + \frac{1}{(n+1)^2}\right) - \left(-3 + \frac{1}{n^2}\right) = \frac{1}{(n+1)^2} - \frac{1}{n^2} = \frac{n^2 - (n+1)^2}{n^2(n+1)^2} = \frac{n^2 - (n^2+2n+1)}{n^2(n+1)^2} = \frac{-2n-1}{n^2(n+1)^2}$.
Для любого натурального $n$ числитель $-2n-1 < 0$ и знаменатель $n^2(n+1)^2 > 0$, следовательно, $y_{n+1} - y_n < 0$, что означает $y_{n+1} < y_n$.
Последовательность является строго убывающей.

2. Ограниченность и предел.
Найдем предел последовательности при $n \to \infty$:
$\lim_{n \to \infty} y_n = \lim_{n \to \infty} \left(-3 + \frac{1}{n^2}\right) = \lim_{n \to \infty} (-3) + \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} = -3 + 0 = -3$.
Последовательность сходится. Так как она убывающая, то ограничена сверху своим первым членом $y_1 = -3 + \frac{1}{1^2} = -2$. Снизу она ограничена своим пределом. Таким образом, $-3 < y_n \le -2$. Последовательность ограничена.

Ответ: Последовательность является строго убывающей, ограниченной ($-3 < y_n \le -2$), ее предел равен -3.