Номер 37.56, страница 218, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

37.56. При каких значениях параметра $p$ последовательность $(y_n)$ будет убывающей:

а) $y_n = \frac{2}{pn};$

б) $y_n = \frac{pn + 2}{pn + 3};$

в) $y_n = \frac{p}{\sin \frac{1}{n}};$

г) $y_n = \frac{5n^2 - p}{n^2}?$

а) Последовательность $(y_n)$ является убывающей, если для любого натурального $n$ выполняется неравенство $y_{n+1} < y_n$. Запишем общий член последовательности $y_n = \frac{2}{pn}$. Для того чтобы члены последовательности были определены для всех $n \ge 1$, необходимо, чтобы $p \neq 0$. Следующий член последовательности: $y_{n+1} = \frac{2}{p(n+1)}$. Составим неравенство $y_{n+1} < y_n$: $\frac{2}{p(n+1)} < \frac{2}{pn}$ Разделим обе части на 2: $\frac{1}{p(n+1)} < \frac{1}{pn}$ Перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю: $\frac{1}{p(n+1)} - \frac{1}{pn} < 0$ $\frac{n - (n+1)}{pn(n+1)} < 0$ $\frac{-1}{pn(n+1)} < 0$ Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный: $\frac{1}{pn(n+1)} > 0$ Поскольку $n$ — натуральное число, то $n \ge 1$, и, следовательно, произведение $n(n+1)$ всегда положительно. Таким образом, знак всей дроби зависит только от знака параметра $p$. Для выполнения неравенства необходимо, чтобы знаменатель был положителен, то есть $p > 0$.
Ответ: $p \in (0, +\infty)$.

б) Общий член последовательности $y_n = \frac{pn + 2}{pn + 3}$. Для удобства преобразуем выражение, выделив целую часть: $y_n = \frac{pn + 3 - 1}{pn + 3} = 1 - \frac{1}{pn + 3}$ Последовательность $(y_n)$ убывает, если $y_{n+1} < y_n$: $1 - \frac{1}{p(n+1) + 3} < 1 - \frac{1}{pn + 3}$ $-\frac{1}{pn + p + 3} < -\frac{1}{pn + 3}$ Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства: $\frac{1}{pn + p + 3} > \frac{1}{pn + 3}$ Пусть $z_n = pn + 3$. Тогда $z_{n+1} = p(n+1) + 3 = pn + p + 3$. Неравенство принимает вид $\frac{1}{z_{n+1}} > \frac{1}{z_n}$. Рассмотрим два случая в зависимости от знака $p$. 1. Если $p > 0$, то последовательность $z_n = pn + 3$ является возрастающей ($z_{n+1} > z_n$). При $p>0$ все члены $z_n$ положительны. Если $z_{n+1} > z_n > 0$, то $\frac{1}{z_{n+1}} < \frac{1}{z_n}$. Это противоречит требуемому неравенству. Значит, $p>0$ не является решением. 2. Если $p < 0$, то последовательность $z_n = pn + 3$ является убывающей ($z_{n+1} < z_n$). Неравенство $\frac{1}{z_{n+1}} > \frac{1}{z_n}$ выполняется, если оба члена $z_n$ и $z_{n+1}$ отрицательны. Для этого необходимо, чтобы $z_n = pn+3 < 0$ для всех натуральных $n \ge 1$. Так как при $p<0$ последовательность $z_n$ убывает, достаточно потребовать, чтобы ее первый член был отрицательным: $z_1 = p(1) + 3 < 0 \implies p < -3$. При $p < -3$ все члены $z_n$ отрицательны (и не равны нулю), и так как $z_{n+1} < z_n < 0$, неравенство $\frac{1}{z_{n+1}} > \frac{1}{z_n}$ выполняется. При $p=0$ последовательность постоянна, $y_n = 2/3$.
Ответ: $p \in (-\infty, -3)$.

в) Общий член последовательности $y_n = \frac{p}{\sin(1/n)}$. Последовательность является убывающей, если $y_{n+1} < y_n$: $\frac{p}{\sin\frac{1}{n+1}} < \frac{p}{\sin\frac{1}{n}}$ Рассмотрим последовательность $S_n = \sin\frac{1}{n}$. Так как $n \ge 1$, аргумент $\frac{1}{n}$ находится в промежутке $(0, 1]$. Поскольку $1 < \frac{\pi}{2}$, на этом промежутке функция $\sin(x)$ является строго возрастающей. Последовательность $x_n = \frac{1}{n}$ является убывающей. Следовательно, композиция $S_n = \sin(\frac{1}{n})$ также является убывающей последовательностью положительных чисел: $0 < \sin\frac{1}{n+1} < \sin\frac{1}{n}$. Рассмотрим неравенство в зависимости от знака $p$. 1. Если $p > 0$, разделив на $p$, получим: $\frac{1}{\sin\frac{1}{n+1}} < \frac{1}{\sin\frac{1}{n}}$. Так как обе части положительны, это эквивалентно $\sin\frac{1}{n+1} > \sin\frac{1}{n}$, что противоречит тому, что $S_n$ убывает. 2. Если $p < 0$, разделив на $p$ и изменив знак неравенства, получим: $\frac{1}{\sin\frac{1}{n+1}} > \frac{1}{\sin\frac{1}{n}}$. Это эквивалентно $\sin\frac{1}{n+1} < \sin\frac{1}{n}$, что является верным. При $p=0$ последовательность постоянна, $y_n = 0$.
Ответ: $p \in (-\infty, 0)$.

г) Общий член последовательности $y_n = \frac{5n^2 - p}{n^2}$. Преобразуем выражение: $y_n = \frac{5n^2}{n^2} - \frac{p}{n^2} = 5 - \frac{p}{n^2}$. Последовательность $(y_n)$ убывает, если $y_{n+1} < y_n$: $5 - \frac{p}{(n+1)^2} < 5 - \frac{p}{n^2}$ $-\frac{p}{(n+1)^2} < -\frac{p}{n^2}$ Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства: $\frac{p}{(n+1)^2} > \frac{p}{n^2}$ Последовательность $x_n = n^2$ является возрастающей для $n \ge 1$, поэтому последовательность $\frac{1}{n^2}$ является убывающей, то есть $\frac{1}{(n+1)^2} < \frac{1}{n^2}$ для всех $n \ge 1$. Рассмотрим неравенство в зависимости от знака $p$. 1. Если $p > 0$, разделив на $p$, получим: $\frac{1}{(n+1)^2} > \frac{1}{n^2}$. Это неверно. 2. Если $p < 0$, разделив на $p$ и изменив знак неравенства, получим: $\frac{1}{(n+1)^2} < \frac{1}{n^2}$. Это верно для всех $n \ge 1$. При $p=0$ последовательность постоянна, $y_n = 5$.
Ответ: $p \in (-\infty, 0)$.