Номер 37.57, страница 218, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

37.57. Дана последовательность $x_n = n^2 - 1$. Исследуйте на ограниченность и монотонность последовательность $(y_n)$:

а) $y_n = x_n$;

б) $y_n = x_{n+1} - x_n$;

в) $y_n = \frac{x_{n+2}}{x_{n+1}}$;

г) $y_n = \frac{1}{x_{n+1}}$.

Дана последовательность $x_n = n^2 - 1$, где $n \in \mathbb{N}$ (натуральные числа, $n \ge 1$).

а) $y_n = x_n$
Последовательность имеет вид $y_n = n^2 - 1$.
Исследование на монотонность:
Найдем разность $(n+1)$-го и $n$-го членов последовательности:
$y_{n+1} - y_n = ((n+1)^2 - 1) - (n^2 - 1) = (n^2 + 2n + 1 - 1) - (n^2 - 1) = n^2 + 2n - n^2 + 1 = 2n + 1$.
Так как $n \ge 1$, выражение $2n+1$ всегда положительно ($2n+1 \ge 3$).
Поскольку $y_{n+1} - y_n > 0$, то $y_{n+1} > y_n$. Следовательно, последовательность является строго возрастающей.
Исследование на ограниченность:
Так как последовательность строго возрастает, она ограничена снизу своим первым членом: $y_1 = 1^2 - 1 = 0$.
Найдем предел последовательности при $n \to \infty$:
$\lim_{n \to \infty} (n^2 - 1) = +\infty$.
Так как предел равен бесконечности, последовательность не ограничена сверху.
Ответ: последовательность строго возрастающая, ограничена снизу.

б) $y_n = x_{n+1} - x_n$
Как мы уже вычислили в пункте а), $x_{n+1} - x_n = 2n + 1$.
Таким образом, последовательность имеет вид $y_n = 2n + 1$.
Исследование на монотонность:
Найдем разность $(n+1)$-го и $n$-го членов последовательности:
$y_{n+1} - y_n = (2(n+1) + 1) - (2n + 1) = (2n + 3) - (2n + 1) = 2$.
Так как $y_{n+1} - y_n = 2 > 0$, последовательность является строго возрастающей.
Исследование на ограниченность:
Так как последовательность строго возрастает, она ограничена снизу своим первым членом: $y_1 = 2(1) + 1 = 3$.
Найдем предел последовательности при $n \to \infty$:
$\lim_{n \to \infty} (2n + 1) = +\infty$.
Последовательность не ограничена сверху.
Ответ: последовательность строго возрастающая, ограничена снизу.

в) $y_n = \frac{x_{n+2}}{x_{n+1}}$
Найдем явный вид для членов последовательности:
$x_{n+2} = (n+2)^2 - 1 = n^2 + 4n + 4 - 1 = n^2 + 4n + 3$.
$x_{n+1} = (n+1)^2 - 1 = n^2 + 2n + 1 - 1 = n^2 + 2n$.
Таким образом, $y_n = \frac{n^2 + 4n + 3}{n^2 + 2n}$. При $n \ge 1$ знаменатель не равен нулю.
Исследование на монотонность:
Для исследования монотонности рассмотрим функцию $f(x) = \frac{x^2 + 4x + 3}{x^2 + 2x}$ при $x \ge 1$ и найдем ее производную:
$f'(x) = \frac{(2x+4)(x^2+2x) - (x^2+4x+3)(2x+2)}{(x^2+2x)^2} = \frac{(2x^3+4x^2+4x^2+8x) - (2x^3+8x^2+6x+2x^2+8x+6)}{(x^2+2x)^2}$
$f'(x) = \frac{2x^3+8x^2+8x - (2x^3+10x^2+14x+6)}{(x^2+2x)^2} = \frac{-2x^2-6x-6}{(x^2+2x)^2} = -\frac{2(x^2+3x+3)}{(x^2+2x)^2}$.
Так как при $x \ge 1$ числитель $2(x^2+3x+3)$ и знаменатель $(x^2+2x)^2$ всегда положительны, вся дробь со знаком минус будет отрицательной: $f'(x) < 0$.
Следовательно, функция убывает, а значит, и последовательность $y_n$ является строго убывающей.
Исследование на ограниченность:
Так как последовательность строго убывает, она ограничена сверху своим первым членом: $y_1 = \frac{1^2+4(1)+3}{1^2+2(1)} = \frac{8}{3}$.
Найдем предел последовательности при $n \to \infty$:
$\lim_{n \to \infty} \frac{n^2+4n+3}{n^2+2n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1+4/n+3/n^2}{1+2/n} = 1$.
Так как последовательность убывает и стремится к 1, она ограничена снизу числом 1.
Имеем $1 < y_n \le \frac{8}{3}$. Следовательно, последовательность ограничена.
Ответ: последовательность строго убывающая, ограничена.

г) $y_n = \frac{1}{x_{n+1}}$
Найдем явный вид для $y_n$:
$x_{n+1} = (n+1)^2 - 1 = n^2 + 2n$.
$y_n = \frac{1}{n^2 + 2n}$.
Исследование на монотонность:
Рассмотрим последовательность знаменателя $z_n = n^2 + 2n$.
$z_{n+1} - z_n = ((n+1)^2 + 2(n+1)) - (n^2 + 2n) = (n^2 + 2n + 1 + 2n + 2) - (n^2 + 2n) = 2n + 3$.
Так как $2n+3 > 0$ при $n \ge 1$, последовательность $z_n$ является строго возрастающей.
Поскольку $y_n = \frac{1}{z_n}$ и $z_n$ — это строго возрастающая последовательность положительных чисел, то последовательность $y_n$ является строго убывающей.
Исследование на ограниченность:
Так как последовательность строго убывает, она ограничена сверху своим первым членом: $y_1 = \frac{1}{1^2+2(1)} = \frac{1}{3}$.
Поскольку $n^2+2n > 0$ для всех $n \ge 1$, то $y_n = \frac{1}{n^2+2n} > 0$. Следовательно, последовательность ограничена снизу нулем.
Имеем $0 < y_n \le \frac{1}{3}$. Следовательно, последовательность ограничена.
Ответ: последовательность строго убывающая, ограничена.