Номер 37.54, страница 218, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

37.54. Если $(x_n)$ — возрастающая последовательность с положительными членами, то что можно сказать о монотонности последовательности $(y_n)$:

a) $y_n = 5x_n + 7;$

б) $y_n = \frac{7}{3 + x_n};$

в) $y_n = 2 - 3x_n;$

г) $y_n = (x_n)^2 + 2?$

По условию, последовательность ($x_n$) является возрастающей, то есть для любого натурального $n$ выполняется неравенство $x_{n+1} > x_n$. Также все члены последовательности положительны: $x_n > 0$.

Для определения монотонности последовательности ($y_n$) найдем знак разности ее соседних членов $y_{n+1} - y_n$.

а) $y_n = 5x_n + 7$

Найдем разность $y_{n+1} - y_n$:

$y_{n+1} - y_n = (5x_{n+1} + 7) - (5x_n + 7) = 5x_{n+1} + 7 - 5x_n - 7 = 5(x_{n+1} - x_n)$.

Так как последовательность ($x_n$) возрастающая, то $x_{n+1} - x_n > 0$. Поскольку $5 > 0$, произведение $5(x_{n+1} - x_n)$ также будет положительным.

Следовательно, $y_{n+1} - y_n > 0$, что означает, что последовательность ($y_n$) является возрастающей.

Ответ: последовательность возрастающая.

б) $y_n = \frac{7}{3 + x_n}$

Найдем разность $y_{n+1} - y_n$:

$y_{n+1} - y_n = \frac{7}{3 + x_{n+1}} - \frac{7}{3 + x_n} = \frac{7(3 + x_n) - 7(3 + x_{n+1})}{(3 + x_{n+1})(3 + x_n)} = \frac{21 + 7x_n - 21 - 7x_{n+1}}{(3 + x_{n+1})(3 + x_n)} = \frac{7(x_n - x_{n+1})}{(3 + x_{n+1})(3 + x_n)}$.

Проанализируем знак полученного выражения:

1. Числитель: $7(x_n - x_{n+1})$. Так как $x_{n+1} > x_n$, то $x_n - x_{n+1} < 0$. Значит, числитель отрицателен.

2. Знаменатель: $(3 + x_{n+1})(3 + x_n)$. По условию $x_n > 0$, следовательно $3 + x_n > 0$ и $3 + x_{n+1} > 0$. Произведение двух положительных чисел положительно, значит, знаменатель положителен.

Отношение отрицательного числителя к положительному знаменателю является отрицательным числом.

Следовательно, $y_{n+1} - y_n < 0$, что означает, что последовательность ($y_n$) является убывающей.

Ответ: последовательность убывающая.

в) $y_n = 2 - 3x_n$

Найдем разность $y_{n+1} - y_n$:

$y_{n+1} - y_n = (2 - 3x_{n+1}) - (2 - 3x_n) = 2 - 3x_{n+1} - 2 + 3x_n = 3x_n - 3x_{n+1} = -3(x_{n+1} - x_n)$.

Так как последовательность ($x_n$) возрастающая, то $x_{n+1} - x_n > 0$. Поскольку $-3 < 0$, произведение $-3(x_{n+1} - x_n)$ будет отрицательным.

Следовательно, $y_{n+1} - y_n < 0$, что означает, что последовательность ($y_n$) является убывающей.

Ответ: последовательность убывающая.

г) $y_n = (x_n)^2 + 2$

Найдем разность $y_{n+1} - y_n$:

$y_{n+1} - y_n = ((x_{n+1})^2 + 2) - ((x_n)^2 + 2) = (x_{n+1})^2 - (x_n)^2$.

Используем формулу разности квадратов:

$(x_{n+1})^2 - (x_n)^2 = (x_{n+1} - x_n)(x_{n+1} + x_n)$.

Проанализируем знак полученного выражения:

1. Первый множитель: $(x_{n+1} - x_n)$. Так как ($x_n$) — возрастающая последовательность, $x_{n+1} - x_n > 0$.

2. Второй множитель: $(x_{n+1} + x_n)$. Так как все члены последовательности ($x_n$) положительны, $x_n > 0$ и $x_{n+1} > 0$, их сумма также положительна: $x_{n+1} + x_n > 0$.

Произведение двух положительных множителей является положительным числом.

Следовательно, $y_{n+1} - y_n > 0$, что означает, что последовательность ($y_n$) является возрастающей.

Ответ: последовательность возрастающая.