Номер 37.52, страница 217, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

37.52. Докажите, что заданная последовательность возрастает:

a) $y_n = n^3 + 2n;$

б) $y_n = \frac{n^2}{n^2 + 10};$

в) $y_n = \frac{n + 1}{n + 7};$

г) $y_n = \frac{n^4 + 3n^2 + 1}{n^4 + 3n^2 + 6}.$

Чтобы доказать, что последовательность $(y_n)$ возрастает, нужно показать, что для любого натурального числа $n$ выполняется неравенство $y_{n+1} > y_n$. Это эквивалентно доказательству того, что разность $y_{n+1} - y_n$ положительна, то есть $y_{n+1} - y_n > 0$.

а) Дана последовательность $y_n = n^3 + 2n$.

Найдем $(n+1)$-й член последовательности:

$y_{n+1} = (n+1)^3 + 2(n+1) = (n^3 + 3n^2 + 3n + 1) + (2n + 2) = n^3 + 3n^2 + 5n + 3$.

Теперь рассмотрим разность $y_{n+1} - y_n$:

$y_{n+1} - y_n = (n^3 + 3n^2 + 5n + 3) - (n^3 + 2n) = 3n^2 + 3n + 3$.

Поскольку $n$ — натуральное число, $n \ge 1$. Следовательно, $n^2 \ge 1$ и $n \ge 1$.

Выражение $3n^2 + 3n + 3$ состоит из положительных слагаемых, поэтому оно всегда положительно для любого натурального $n$. Например, при $n \ge 1$, $3n^2 + 3n + 3 \ge 3(1)^2 + 3(1) + 3 = 9 > 0$.

Так как $y_{n+1} - y_n > 0$, последовательность $y_n$ возрастает.

Ответ: Доказано.

б) Дана последовательность $y_n = \frac{n^2}{n^2 + 10}$.

Преобразуем выражение для $n$-го члена последовательности, выделив целую часть:

$y_n = \frac{n^2 + 10 - 10}{n^2 + 10} = 1 - \frac{10}{n^2 + 10}$.

Аналогично запишем $(n+1)$-й член:

$y_{n+1} = 1 - \frac{10}{(n+1)^2 + 10}$.

Чтобы доказать, что последовательность возрастает, покажем, что $y_{n+1} > y_n$:

$1 - \frac{10}{(n+1)^2 + 10} > 1 - \frac{10}{n^2 + 10}$

Вычтем 1 из обеих частей:

$-\frac{10}{(n+1)^2 + 10} > -\frac{10}{n^2 + 10}$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$\frac{10}{(n+1)^2 + 10} < \frac{10}{n^2 + 10}$

Поскольку оба знаменателя положительны, мы можем "перевернуть" дроби, снова изменив знак неравенства:

$\frac{(n+1)^2 + 10}{10} > \frac{n^2 + 10}{10}$

$(n+1)^2 + 10 > n^2 + 10$

$(n+1)^2 > n^2$

$n^2 + 2n + 1 > n^2$

$2n + 1 > 0$.

Это неравенство верно для всех натуральных $n$, так как $n \ge 1$. Следовательно, последовательность $y_n$ возрастает.

Ответ: Доказано.

в) Дана последовательность $y_n = \frac{n+1}{n+7}$.

Преобразуем выражение для $n$-го члена последовательности:

$y_n = \frac{n+7-6}{n+7} = 1 - \frac{6}{n+7}$.

Тогда $(n+1)$-й член равен:

$y_{n+1} = 1 - \frac{6}{(n+1)+7} = 1 - \frac{6}{n+8}$.

Докажем неравенство $y_{n+1} > y_n$:

$1 - \frac{6}{n+8} > 1 - \frac{6}{n+7}$

$-\frac{6}{n+8} > -\frac{6}{n+7}$

$\frac{6}{n+8} < \frac{6}{n+7}$

Так как числители и знаменатели положительны для натуральных $n$, это неравенство эквивалентно следующему:

$n+8 > n+7$

$8 > 7$.

Последнее неравенство является верным. Значит, и исходное неравенство $y_{n+1} > y_n$ верно. Следовательно, последовательность возрастает.

Ответ: Доказано.

г) Дана последовательность $y_n = \frac{n^4 + 3n^2 + 1}{n^4 + 3n^2 + 6}$.

Преобразуем выражение для $n$-го члена последовательности:

$y_n = \frac{(n^4 + 3n^2 + 6) - 5}{n^4 + 3n^2 + 6} = 1 - \frac{5}{n^4 + 3n^2 + 6}$.

Рассмотрим вспомогательную последовательность $x_n = n^4 + 3n^2 + 6$. Докажем, что она возрастает. Для этого найдем разность $x_{n+1} - x_n$.

$x_{n+1} = (n+1)^4 + 3(n+1)^2 + 6$.

$x_{n+1} - x_n = \left( (n+1)^4 + 3(n+1)^2 + 6 \right) - \left( n^4 + 3n^2 + 6 \right)$

$x_{n+1} - x_n = ((n+1)^4 - n^4) + 3((n+1)^2 - n^2)$.

$(n+1)^4 - n^4 = (n^4 + 4n^3 + 6n^2 + 4n + 1) - n^4 = 4n^3 + 6n^2 + 4n + 1$.

$3((n+1)^2 - n^2) = 3(n^2 + 2n + 1 - n^2) = 3(2n+1) = 6n+3$.

$x_{n+1} - x_n = (4n^3 + 6n^2 + 4n + 1) + (6n+3) = 4n^3 + 6n^2 + 10n + 4$.

Для любого натурального $n \ge 1$ все слагаемые в этом выражении положительны, значит, их сумма $x_{n+1} - x_n > 0$. Таким образом, последовательность $x_n$ возрастает, то есть $x_{n+1} > x_n$.

Теперь вернемся к $y_n = 1 - \frac{5}{x_n}$. Нам нужно доказать, что $y_{n+1} > y_n$.

$1 - \frac{5}{x_{n+1}} > 1 - \frac{5}{x_n}$

$-\frac{5}{x_{n+1}} > -\frac{5}{x_n}$

$\frac{5}{x_{n+1}} < \frac{5}{x_n}$

Так как $x_n$ положительна для всех натуральных $n$, это неравенство равносильно $x_{n+1} > x_n$.

Поскольку мы уже доказали, что последовательность $x_n$ возрастает, это неравенство верно. Следовательно, последовательность $y_n$ также возрастает.

Ответ: Доказано.