Номер 37.50, страница 217, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

37.50. Выясните, какие из приведённых последовательностей являются монотонными; укажите характер монотонности:

a) $y_n = 5^{-n}$

б) $y_n = \cos \frac{\pi}{n+5}$

в) $y_n = \frac{2}{3n+1}$

г) $y_n = \sqrt{n+8}$

а) $y_n = 5^{-n}$

Чтобы определить характер монотонности последовательности, сравним её $(n+1)$-й член с $n$-м членом.

Запишем $(n+1)$-й член последовательности: $y_{n+1} = 5^{-(n+1)} = 5^{-n-1}$.

Представим члены последовательности в виде дроби: $y_n = \frac{1}{5^n}$ и $y_{n+1} = \frac{1}{5^{n+1}}$.

Так как для любого натурального $n$ выполняется неравенство $n+1 > n$, а показательная функция с основанием $5 > 1$ является возрастающей, то $5^{n+1} > 5^n$.

Поскольку знаменатели дробей положительны, то из $5^{n+1} > 5^n$ следует, что $\frac{1}{5^{n+1}} < \frac{1}{5^n}$.

Таким образом, $y_{n+1} < y_n$ для любого натурального $n$. Это означает, что последовательность является строго убывающей.

Ответ: последовательность является монотонной (строго убывающей).

б) $y_n = \cos\frac{\pi}{n+5}$

Рассмотрим аргумент косинуса, последовательность $x_n = \frac{\pi}{n+5}$.

С увеличением $n$ знаменатель $n+5$ увеличивается. Так как числитель $\pi$ - положительная константа, то последовательность $x_n$ является убывающей, то есть $x_{n+1} < x_n$.

Определим, в каком интервале находятся значения $x_n$. Для $n=1$, $x_1 = \frac{\pi}{1+5} = \frac{\pi}{6}$. С ростом $n$, $x_n$ стремится к нулю. Следовательно, для всех $n \geq 1$, значения $x_n$ принадлежат интервалу $(0, \frac{\pi}{6}]$.

На интервале $[0, \pi]$ функция $f(t) = \cos(t)$ является убывающей. Интервал $(0, \frac{\pi}{6}]$ является частью интервала $[0, \pi]$.

Так как последовательность аргументов $x_n$ убывает ($x_{n+1} < x_n$), а функция косинус на соответствующем интервале также убывает, то значения функции будут возрастать. То есть, из $x_{n+1} < x_n$ следует, что $\cos(x_{n+1}) > \cos(x_n)$.

Таким образом, $y_{n+1} > y_n$ для любого натурального $n$. Это означает, что последовательность является строго возрастающей.

Ответ: последовательность является монотонной (строго возрастающей).

в) $y_n = \frac{2}{3n+1}$

Сравним $(n+1)$-й и $n$-й члены последовательности.

$y_n = \frac{2}{3n+1}$ и $y_{n+1} = \frac{2}{3(n+1)+1} = \frac{2}{3n+4}$.

С увеличением $n$ знаменатель $3n+1$ увеличивается. То есть, $3n+4 > 3n+1$ для любого натурального $n$.

Так как числители дробей равны и положительны, а знаменатели также положительны, то дробь с большим знаменателем будет меньше.

Следовательно, $\frac{2}{3n+4} < \frac{2}{3n+1}$, что означает $y_{n+1} < y_n$.

Последовательность является строго убывающей.

Ответ: последовательность является монотонной (строго убывающей).

г) $y_n = \sqrt{n+8}$

Сравним $(n+1)$-й и $n$-й члены последовательности.

$y_n = \sqrt{n+8}$ и $y_{n+1} = \sqrt{(n+1)+8} = \sqrt{n+9}$.

С увеличением $n$ подкоренное выражение $n+8$ увеличивается. То есть, $n+9 > n+8$ для любого натурального $n$.

Функция $f(t) = \sqrt{t}$ является возрастающей для всех $t \geq 0$. Поскольку $n+9 > n+8 \geq 9$ для $n \geq 1$, то из этого следует, что $\sqrt{n+9} > \sqrt{n+8}$.

Таким образом, $y_{n+1} > y_n$ для любого натурального $n$.

Последовательность является строго возрастающей.

Ответ: последовательность является монотонной (строго возрастающей).