Номер 37.51, страница 217, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

37.51. Исследуйте на монотонность последовательность:

а) $y_n = -2n + 1$;

б) $y_n = 3n^2 + n - 1$;

в) $y_n = \cos\frac{1}{n}$;

г) $y_n = \frac{n}{n^2 + 1}$.

а) $y_n = -2n + 1$

Для исследования последовательности на монотонность найдем разность между $(n+1)$-м и $n$-м членами последовательности: $y_{n+1} - y_n$.

$(n+1)$-й член последовательности равен:

$y_{n+1} = -2(n+1) + 1 = -2n - 2 + 1 = -2n - 1$.

Тогда разность равна:

$y_{n+1} - y_n = (-2n - 1) - (-2n + 1) = -2n - 1 + 2n - 1 = -2$.

Так как разность $y_{n+1} - y_n = -2$ является отрицательным числом для любого натурального $n$, то для всех $n$ выполняется неравенство $y_{n+1} < y_n$. Следовательно, последовательность является строго убывающей.

Ответ: последовательность является строго убывающей.

б) $y_n = 3n^2 + n - 1$

Найдем разность $y_{n+1} - y_n$.

$(n+1)$-й член последовательности равен:

$y_{n+1} = 3(n+1)^2 + (n+1) - 1 = 3(n^2 + 2n + 1) + n + 1 - 1 = 3n^2 + 6n + 3 + n = 3n^2 + 7n + 3$.

Вычислим разность:

$y_{n+1} - y_n = (3n^2 + 7n + 3) - (3n^2 + n - 1) = 3n^2 + 7n + 3 - 3n^2 - n + 1 = 6n + 4$.

Так как $n$ — натуральное число ($n \ge 1$), то выражение $6n + 4$ всегда будет положительным: $6n + 4 > 0$.

Поскольку $y_{n+1} - y_n > 0$, то $y_{n+1} > y_n$. Следовательно, последовательность является строго возрастающей.

Ответ: последовательность является строго возрастающей.

в) $y_n = \cos \frac{1}{n}$

Рассмотрим последовательность, стоящую в аргументе косинуса: $x_n = \frac{1}{n}$. Так как при увеличении $n$ знаменатель дроби увеличивается, сама дробь уменьшается. То есть, $n+1 > n \implies \frac{1}{n+1} < \frac{1}{n}$. Значит, последовательность $x_n$ является строго убывающей.

Для натуральных $n \ge 1$ члены последовательности $x_n$ находятся в интервале $(0, 1]$, так как $0 < \frac{1}{n} \le 1$.

Функция $f(t) = \cos t$ на интервале $[0, \pi]$ (а значит и на содержащемся в нем интервале $(0, 1]$) является строго убывающей. Это означает, что меньшему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Поскольку $\frac{1}{n+1} < \frac{1}{n}$, и оба значения лежат в интервале, где косинус убывает, мы получаем:

$\cos\left(\frac{1}{n+1}\right) > \cos\left(\frac{1}{n}\right)$.

Таким образом, $y_{n+1} > y_n$. Следовательно, последовательность является строго возрастающей.

Ответ: последовательность является строго возрастающей.

г) $y_n = \frac{n}{n^2 + 1}$

Для исследования на монотонность рассмотрим разность $y_{n+1} - y_n$.

$y_{n+1} - y_n = \frac{n+1}{(n+1)^2 + 1} - \frac{n}{n^2 + 1} = \frac{n+1}{n^2 + 2n + 2} - \frac{n}{n^2 + 1}$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$y_{n+1} - y_n = \frac{(n+1)(n^2+1) - n(n^2+2n+2)}{(n^2+2n+2)(n^2+1)} = \frac{(n^3+n^2+n+1) - (n^3+2n^2+2n)}{(n^2+2n+2)(n^2+1)}$.

Упростим числитель:

$n^3+n^2+n+1 - n^3-2n^2-2n = -n^2-n+1 = -(n^2+n-1)$.

Знаменатель $(n^2+2n+2)(n^2+1)$ всегда положителен для натуральных $n$, так как каждый множитель положителен.

Рассмотрим знак числителя $-(n^2+n-1)$. Для любого натурального $n \ge 1$: $n^2 \ge 1$ и $n \ge 1$, поэтому их сумма $n^2+n \ge 2$. Тогда $n^2+n-1 \ge 1 > 0$.

Следовательно, числитель $-(n^2+n-1)$ всегда отрицателен для $n \ge 1$.

Так как числитель дроби отрицателен, а знаменатель положителен, то вся дробь отрицательна: $y_{n+1} - y_n < 0$. Это означает, что $y_{n+1} < y_n$. Следовательно, последовательность является строго убывающей.

Ответ: последовательность является строго убывающей.