Номер 1, страница 234, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

1. Замените данное выражение выражением $T(t)$, где $T$ — обозначение соответствующей тригонометрической функции:

$\operatorname{sin}\left(\frac{\pi}{2}+t\right)$, $\operatorname{cos}(\pi+t)$, $\operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{2}+t\right)$, $\operatorname{ctg}(2\pi+t)$.

Для решения данной задачи мы воспользуемся формулами приведения. Общее мнемоническое правило для их применения состоит из двух шагов:

1. Определение знака: мысленно предполагаем, что угол $t$ находится в первой четверти ($0 < t < \frac{\pi}{2}$). Определяем, в какой четверти находится весь аргумент функции, и ставим тот знак, который имеет исходная функция в этой четверти.
2. Определение функции: если в аргументе содержатся углы $\pi$ или $2\pi$ (точки на горизонтальной оси единичной окружности), то название функции не меняется. Если в аргументе содержатся углы $\frac{\pi}{2}$ или $\frac{3\pi}{2}$ (точки на вертикальной оси), то название функции меняется на кофункцию (синус на косинус, тангенс на котангенс и наоборот).

Применим это правило к каждому выражению.

$\sin(\frac{\pi}{2} + t)$

1. Определяем знак. Если $t$ — угол первой четверти, то угол $\frac{\pi}{2} + t$ находится во второй четверти. Синус во второй четверти имеет знак «+».

2. Определяем функцию. Аргумент содержит $\frac{\pi}{2}$, значит, функция $\sin$ меняется на кофункцию $\cos$.

В результате получаем: $\sin(\frac{\pi}{2} + t) = \cos(t)$.

Ответ: $\cos(t)$

$\cos(\pi + t)$

1. Определяем знак. Если $t$ — угол первой четверти, то угол $\pi + t$ находится в третьей четверти. Косинус в третьей четверти имеет знак «–».

2. Определяем функцию. Аргумент содержит $\pi$, значит, функция $\cos$ не меняется.

В результате получаем: $\cos(\pi + t) = -\cos(t)$.

Ответ: $-\cos(t)$

$\text{tg}(\frac{3\pi}{2} + t)$

1. Определяем знак. Если $t$ — угол первой четверти, то угол $\frac{3\pi}{2} + t$ находится в четвертой четверти. Тангенс в четвертой четверти имеет знак «–» (так как $\sin < 0$ и $\cos > 0$).

2. Определяем функцию. Аргумент содержит $\frac{3\pi}{2}$, значит, функция $\text{tg}$ меняется на кофункцию $\text{ctg}$.

В результате получаем: $\text{tg}(\frac{3\pi}{2} + t) = -\text{ctg}(t)$.

Ответ: $-\text{ctg}(t)$

$\text{ctg}(2\pi + t)$

Для этого выражения можно использовать свойство периодичности. Период функций тангенса и котангенса равен $\pi$, а синуса и косинуса — $2\pi$. Это означает, что значения этих функций повторяются через каждый период.

Поскольку $2\pi$ является периодом для тригонометрических функций (и кратно периоду котангенса, $2\pi = 2 \cdot \pi$), мы можем просто отбросить это слагаемое из аргумента:

$\text{ctg}(2\pi + t) = \text{ctg}(t)$.

Если применять общее правило приведения:

1. Определяем знак. Угол $2\pi + t$ находится в той же четверти, что и угол $t$. В первой четверти котангенс имеет знак «+».

2. Определяем функцию. Аргумент содержит $2\pi$, значит, функция $\text{ctg}$ не меняется.

Оба подхода дают одинаковый результат.

Ответ: $\text{ctg}(t)$