Номер 3, страница 230, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

3. Укажите область допустимых значений переменных в формуле $tg (x + y) = \frac{tg x + tg y}{1 - tg x tg y}$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для данной формулы определяется условиями, при которых все входящие в нее выражения имеют смысл. Это означает, что аргументы всех функций тангенса должны находиться в их области определения, и знаменатель дроби в правой части не должен обращаться в нуль.

1. Условия для существования $ \operatorname{tg} x $ и $ \operatorname{tg} y $
Функция тангенса $ \operatorname{tg} \alpha $ определена, если ее аргумент $ \alpha $ не равен $ \frac{\pi}{2} + \pi n $, где $ n $ — любое целое число. Это связано с тем, что $ \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $, и знаменатель $ \cos \alpha $ не должен быть равен нулю.
Применительно к нашей формуле, это дает два условия:

• Для $ \operatorname{tg} x $: $ x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $
• Для $ \operatorname{tg} y $: $ y \ne \frac{\pi}{2} + \pi m, m \in \mathbb{Z} $

2. Условие для левой части и знаменателя правой части
В левой части формулы находится $ \operatorname{tg}(x+y) $. Для того чтобы это выражение имело смысл, его аргумент $ (x+y) $ не должен быть равен $ \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k $ — любое целое число.
$ x + y \ne \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $
Теперь рассмотрим знаменатель дроби в правой части: $ 1 - \operatorname{tg} x \operatorname{tg} y $. Он не должен быть равен нулю.
$ 1 - \operatorname{tg} x \operatorname{tg} y \ne 0 $
$ \operatorname{tg} x \operatorname{tg} y \ne 1 $
Используя определение тангенса, перепишем это неравенство:
$ \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{\sin y}{\cos y} \ne 1 $
При уже установленных условиях $ \cos x \ne 0 $ и $ \cos y \ne 0 $, мы можем умножить обе части на $ \cos x \cos y $:
$ \sin x \sin y \ne \cos x \cos y $
$ \cos x \cos y - \sin x \sin y \ne 0 $
Выражение в левой части является формулой косинуса суммы:
$ \cos(x+y) \ne 0 $
Это условие эквивалентно условию $ x+y \ne \frac{\pi}{2} + \pi k $, которое мы уже получили из левой части формулы. Таким образом, условие на знаменатель не добавляет новых ограничений.

Итак, для определения области допустимых значений необходимо объединить все найденные условия.

Ответ: Область допустимых значений переменных $x$ и $y$ для данной формулы задается системой из трех условий:
$ x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $
$ y \ne \frac{\pi}{2} + \pi m $, где $ m \in \mathbb{Z} $
$ x + y \ne \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $