Номер 2, страница 230, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

2. Выразите через тригонометрические функции переменных

$u$ и $v$ выражение $tg(u - v)$.

2. Для того чтобы выразить $\tg(u - v)$ через тригонометрические функции переменных $u$ и $v$, необходимо использовать формулу тангенса разности. Выведем эту формулу.

Начнем с основного тригонометрического определения тангенса:
$\tg(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$
Применим это определение к нашему выражению, где $\alpha = u - v$:
$\tg(u - v) = \frac{\sin(u - v)}{\cos(u - v)}$

Теперь воспользуемся формулами синуса и косинуса разности двух углов:
$\sin(u - v) = \sin(u)\cos(v) - \cos(u)\sin(v)$
$\cos(u - v) = \cos(u)\cos(v) + \sin(u)\sin(v)$

Подставим эти формулы в выражение для $\tg(u - v)$:
$\tg(u - v) = \frac{\sin(u)\cos(v) - \cos(u)\sin(v)}{\cos(u)\cos(v) + \sin(u)\sin(v)}$

Чтобы получить выражение, содержащее только тангенсы, разделим и числитель, и знаменатель дроби на произведение $\cos(u)\cos(v)$. Это преобразование корректно при условии, что $\cos(u) \neq 0$ и $\cos(v) \neq 0$.
$\tg(u - v) = \frac{\frac{\sin(u)\cos(v) - \cos(u)\sin(v)}{\cos(u)\cos(v)}}{\frac{\cos(u)\cos(v) + \sin(u)\sin(v)}{\cos(u)\cos(v)}}$

Разделим каждый член в числителе и знаменателе отдельно:
$\tg(u - v) = \frac{\frac{\sin(u)\cos(v)}{\cos(u)\cos(v)} - \frac{\cos(u)\sin(v)}{\cos(u)\cos(v)}}{\frac{\cos(u)\cos(v)}{\cos(u)\cos(v)} + \frac{\sin(u)\sin(v)}{\cos(u)\cos(v)}}$

После сокращения одинаковых множителей получаем:
$\tg(u - v) = \frac{\frac{\sin(u)}{\cos(u)} - \frac{\sin(v)}{\cos(v)}}{1 + \frac{\sin(u)}{\cos(u)} \cdot \frac{\sin(v)}{\cos(v)}}$

Используя определение $\tg(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$, заменяем отношения на тангенсы и получаем конечную формулу:
$\tg(u - v) = \frac{\tg(u) - \tg(v)}{1 + \tg(u)\tg(v)}$

Таким образом, мы выразили $\tg(u - v)$ через тригонометрические функции (в данном случае, тангенсы) переменных $u$ и $v$.

Ответ: $\tg(u - v) = \frac{\tg(u) - \tg(v)}{1 + \tg(u)\tg(v)}$.