Номер 9.30, страница 72, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

9.30. a) $y = |[x]|$;

б) $y = x + [x]$;

В) $y = \{x\} + [x]$;

Г) $y = [\{x\}]$.

а) $y = |[x]|$

Для решения этой задачи необходимо разобраться в функциях, из которых состоит данное выражение: целая часть числа $[x]$ и модуль числа $|a|$.
Функция "целая часть числа" $y = [x]$ (или "антье", "пол") сопоставляет каждому действительному числу $x$ наибольшее целое число, которое не превосходит $x$. Эта функция является кусочно-постоянной, её значениями являются целые числа.
Например: $[3.14] = 3$, $[5] = 5$, $[-2.7] = -3$.
Функция "модуль числа" $y = |a|$ возвращает абсолютное значение числа, то есть само число, если оно неотрицательное, и число с противоположным знаком, если оно отрицательное. В результате модуль всегда неотрицателен.
Рассмотрим поведение функции $y = |[x]|$ на различных интервалах. Пусть $n$ — любое целое число.
Если $x$ принадлежит интервалу $[n, n+1)$, то $[x] = n$. Тогда $y = |n|$.
1. Если $x \in [0, 1)$, то $[x] = 0$, и $y = |0| = 0$.
2. Если $x \in [1, 2)$, то $[x] = 1$, и $y = |1| = 1$.
3. Если $x \in [2, 3)$, то $[x] = 2$, и $y = |2| = 2$.
...
Для неотрицательных $x$, где $x \in [n, n+1)$ и $n \geq 0$, имеем $y = n$.
Теперь рассмотрим отрицательные значения $x$:
1. Если $x \in [-1, 0)$, то $[x] = -1$, и $y = |-1| = 1$.
2. Если $x \in [-2, -1)$, то $[x] = -2$, и $y = |-2| = 2$.
3. Если $x \in [-3, -2)$, то $[x] = -3$, и $y = |-3| = 3$.
...
Для отрицательных $x$, где $x \in [n, n+1)$ и $n < 0$, имеем $y = |n| = -n$.
Таким образом, график функции представляет собой "лесенку", состоящую из горизонтальных полуинтервалов. Все значения функции — неотрицательные целые числа.
Ответ: График функции $y = |[x]|$ — это совокупность горизонтальных отрезков (полуинтервалов). На каждом интервале $[n, n+1)$, где $n$ — целое число, функция постоянна и равна $y=|n|$. При $x \ge 0$ график совпадает с графиком $y=[x]$. При $x<0$ график функции $y=[x]$ (который находится ниже оси абсцисс) зеркально отражается относительно этой оси.

б) $y = x + [x]$

Данная функция является суммой линейной функции $f(x)=x$ и функции "целая часть" $g(x)=[x]$. Для построения и анализа графика разобьем числовую ось на полуинтервалы вида $[n, n+1)$, где $n$ — целое число.
На каждом таком полуинтервале значение $[x]$ постоянно и равно $n$.
Следовательно, на полуинтервале $[n, n+1)$ формула функции упрощается до $y = x + n$. Это уравнение прямой с угловым коэффициентом, равным 1.
Рассмотрим несколько примеров:
1. При $x \in [0, 1)$, $[x]=0$, и функция принимает вид $y = x+0 = x$. Графиком является отрезок прямой $y=x$, начинающийся в точке $(0,0)$ и заканчивающийся в точке $(1,1)$, причем точка $(0,0)$ принадлежит графику, а $(1,1)$ — нет.
2. При $x \in [1, 2)$, $[x]=1$, и функция принимает вид $y = x+1$. Графиком является отрезок прямой $y=x+1$, начинающийся в точке $(1, 1+1)=(1,2)$ (включительно) и заканчивающийся в точке $(2, 2+1)=(2,3)$ (не включительно).
3. При $x \in [-1, 0)$, $[x]=-1$, и функция принимает вид $y = x-1$. Графиком является отрезок прямой $y=x-1$, начинающийся в точке $(-1, -1-1)=(-1,-2)$ (включительно) и заканчивающийся в точке $(0, 0-1)=(0,-1)$ (не включительно).
Функция имеет разрывы в каждой целой точке $x=n$. В этих точках значение функции равно $y(n) = n + [n] = 2n$. Предел слева $\lim_{x \to n^-} (x+[x]) = n+(n-1) = 2n-1$. Так как значение в точке не равно пределу слева, в каждой целой точке $x=n$ происходит скачок на величину $(2n) - (2n-1) = 1$.
Ответ: График функции $y = x + [x]$ представляет собой совокупность параллельных отрезков прямых с угловым коэффициентом 1. На каждом полуинтервале $[n, n+1)$ (где $n \in \mathbb{Z}$) график является частью прямой $y=x+n$. В целых точках $x=n$ функция имеет разрывы первого рода (скачки).

в) $y = \{x\} + [x]$

В этой задаче используются понятия "дробная часть числа" $\{x\}$ и "целая часть числа" $[x]$.
По определению, дробная часть числа $x$ вычисляется по формуле $\{x\} = x - [x]$. Это фундаментальное свойство, связывающее число с его целой и дробной частями.
Подставим это определение в исходное уравнение функции:
$y = \{x\} + [x] = (x - [x]) + [x]$
Упрощая выражение, мы видим, что члены $[x]$ и $-[x]$ взаимно уничтожаются:
$y = x$
Таким образом, исходная функция является просто тождественной функцией $y=x$.
Ответ: График функции $y = \{x\} + [x]$ — это прямая линия $y=x$, которая является биссектрисой первого и третьего координатных углов.

г) $y = [\{x\}]$

Данная функция является композицией двух функций: сначала вычисляется дробная часть числа $x$, а затем от полученного результата берется целая часть.
Рассмотрим область значений функции "дробная часть" $z = \{x\}$. По определению, дробная часть любого действительного числа $x$ удовлетворяет неравенству:
$0 \le \{x\} < 1$
Это означает, что результат вычисления $\{x\}$ всегда находится в полуинтервале $[0, 1)$.
Теперь нам нужно применить к этому результату функцию "целая часть": $y = [z]$, где $z = \{x\}$ и $z \in [0, 1)$.
По определению целой части, $[z]$ — это наибольшее целое число, не превосходящее $z$.
Поскольку $0 \le z < 1$, единственным целым числом, удовлетворяющим этому условию, является 0.
Рассмотрим два возможных случая:
1. Если $x$ — целое число ($x \in \mathbb{Z}$), то $\{x\} = 0$. Тогда $y = [0] = 0$.
2. Если $x$ — не целое число ($x \notin \mathbb{Z}$), то $0 < \{x\} < 1$. Тогда $y = [\{x\}] = 0$.
В обоих случаях значение функции равно нулю. Следовательно, для любого действительного $x$, $y=0$.
Ответ: График функции $y = [\{x\}]$ — это прямая линия $y=0$, которая совпадает с осью абсцисс ($Ox$).