Номер 13.4, страница 88, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Вычислите:

13.4. a) $\sin \left(-\frac{\pi}{4}\right) + \cos \frac{\pi}{3} + \cos \left(-\frac{\pi}{6}\right);$

б) $\cos \frac{\pi}{6} \cdot \cos \frac{\pi}{4} \cdot \cos \frac{\pi}{3} \cdot \cos \frac{\pi}{2};$

в) $\sin \left(-\frac{\pi}{2}\right) - \cos (-\pi) + \sin \left(-\frac{3\pi}{2}\right);$

г) $\sin \frac{\pi}{6} \cdot \sin \frac{\pi}{4} \cdot \sin \frac{\pi}{3} \cdot \sin \frac{\pi}{2}.$

а)

Для вычисления значения выражения $ \sin(-\frac{\pi}{4}) + \cos\frac{\pi}{3} + \cos(-\frac{\pi}{6}) $ воспользуемся свойствами четности и нечетности тригонометрических функций, а также табличными значениями.

1. Функция синус является нечетной, то есть $ \sin(-x) = -\sin(x) $. Поэтому $ \sin(-\frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) $.

2. Функция косинус является четной, то есть $ \cos(-x) = \cos(x) $. Поэтому $ \cos(-\frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{6}) $.

3. Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$ -\sin(\frac{\pi}{4}) + \cos(\frac{\pi}{3}) + \cos(\frac{\pi}{6}) $

4. Теперь используем табличные значения тригонометрических функций:

$ \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $

$ \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} $

$ \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $

5. Подставляем эти значения и вычисляем:

$ -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1 - \sqrt{2} + \sqrt{3}}{2} $

Ответ: $ \frac{1 - \sqrt{2} + \sqrt{3}}{2} $

б)

Для вычисления значения выражения $ \cos\frac{\pi}{6} \cdot \cos\frac{\pi}{4} \cdot \cos\frac{\pi}{3} \cdot \cos\frac{\pi}{2} $ найдем значение каждого множителя.

1. Используем табличные значения тригонометрических функций:

$ \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $

$ \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $

$ \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} $

$ \cos(\frac{\pi}{2}) = 0 $

2. Перемножим эти значения:

$ \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot 0 $

3. Так как один из множителей равен нулю, все произведение равно нулю.

Ответ: $ 0 $

в)

Для вычисления значения выражения $ \sin(-\frac{\pi}{2}) - \cos(-\pi) + \sin(-\frac{3\pi}{2}) $ воспользуемся свойствами четности и нечетности тригонометрических функций и их значениями в ключевых точках.

1. Применим свойства четности и нечетности:

$ \sin(-\frac{\pi}{2}) = -\sin(\frac{\pi}{2}) $

$ \cos(-\pi) = \cos(\pi) $

$ \sin(-\frac{3\pi}{2}) = -\sin(\frac{3\pi}{2}) $

2. Выражение принимает вид:

$ -\sin(\frac{\pi}{2}) - \cos(\pi) - \sin(\frac{3\pi}{2}) $

3. Используем известные значения тригонометрических функций:

$ \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 $

$ \cos(\pi) = -1 $

$ \sin(\frac{3\pi}{2}) = -1 $

4. Подставим значения в выражение и вычислим:

$ -(1) - (-1) - (-1) = -1 + 1 + 1 = 1 $

Ответ: $ 1 $

г)

Для вычисления значения выражения $ \sin\frac{\pi}{6} \cdot \sin\frac{\pi}{4} \cdot \sin\frac{\pi}{3} \cdot \sin\frac{\pi}{2} $ найдем значение каждого множителя.

1. Используем табличные значения тригонометрических функций:

$ \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} $

$ \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $

$ \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $

$ \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 $

2. Перемножим эти значения:

$ \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = \frac{1 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \cdot 1}{2 \cdot 2 \cdot 2} = \frac{\sqrt{6}}{8} $

Ответ: $ \frac{\sqrt{6}}{8} $