Номер 21.31, страница 131, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Вычислите:

21.31. а) $ \text{arctg } 1 $;

б) $ \text{arctg } (-\sqrt{3}) $;

в) $ \text{arctg } \sqrt{3} $;

г) $ \text{arctg } \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) $.

а) Арктангенсом числа $a$, обозначаемым как $\text{arctg } a$, является угол $\alpha$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $a$. Чтобы вычислить $\text{arctg } 1$, нам нужно найти такой угол $\alpha$, что $\alpha \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ и $\text{tg } \alpha = 1$. Известно, что тангенс угла $\frac{\pi}{4}$ равен 1. Так как $\frac{\pi}{4}$ принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, то искомое значение равно $\frac{\pi}{4}$.
Ответ: $\frac{\pi}{4}$

б) Для вычисления $\text{arctg}(-\sqrt{3})$ можно использовать свойство нечетности функции арктангенс: $\text{arctg}(-x) = -\text{arctg}(x)$ для любого действительного $x$. Таким образом, $\text{arctg}(-\sqrt{3}) = -\text{arctg}(\sqrt{3})$. Далее находим $\text{arctg}(\sqrt{3})$. Нам нужен угол $\alpha$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, для которого $\text{tg } \alpha = \sqrt{3}$. Этим углом является $\frac{\pi}{3}$. Следовательно, $\text{arctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$. Тогда $\text{arctg}(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$.
Ответ: $-\frac{\pi}{3}$

в) Чтобы вычислить $\text{arctg } \sqrt{3}$, необходимо найти угол $\alpha$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, для которого $\text{tg } \alpha = \sqrt{3}$. Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что $\text{tg}(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$. Угол $\frac{\pi}{3}$ принадлежит требуемому интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, поэтому $\text{arctg } \sqrt{3} = \frac{\pi}{3}$.
Ответ: $\frac{\pi}{3}$

г) Для вычисления $\text{arctg}(-\frac{1}{\sqrt{3}})$ воспользуемся свойством нечетности функции арктангенс: $\text{arctg}(-x) = -\text{arctg}(x)$. Таким образом, $\text{arctg}(-\frac{1}{\sqrt{3}}) = -\text{arctg}(\frac{1}{\sqrt{3}})$. Теперь найдем значение $\text{arctg}(\frac{1}{\sqrt{3}})$. Нам нужен угол $\alpha$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $\frac{1}{\sqrt{3}}$. Этим углом является $\frac{\pi}{6}$, так как $\text{tg}(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Значит, $\text{arctg}(\frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{\pi}{6}$. Отсюда получаем, что $\text{arctg}(-\frac{1}{\sqrt{3}}) = -\frac{\pi}{6}$.
Ответ: $-\frac{\pi}{6}$