Номер 22.52, страница 142, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

22.52. Найдите область определения функции:

а) $y = \frac{\sin x}{2 \cos x - 1}$;

б) $y = \frac{\operatorname{ctg} x}{\pi - 3 \cos x}$;

в) $y = \frac{\sqrt{x}}{\sin x}$;

г) $y = \frac{\operatorname{tg} x}{\sqrt{x} - 5}$.

а) $y = \frac{\sin x}{2 \cos x - 1}$

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. Данная функция представляет собой дробь. Дробь определена, когда ее знаменатель не равен нулю. Следовательно, должно выполняться условие:

$2 \cos x - 1 \neq 0$

Решим уравнение $2 \cos x - 1 = 0$:

$2 \cos x = 1$

$\cos x = \frac{1}{2}$

Общее решение этого тригонометрического уравнения имеет вид $x = \pm \arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Поскольку $\arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$, получаем значения $x$, которые необходимо исключить из области определения:

$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: все действительные числа, кроме $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) $y = \frac{\operatorname{ctg} x}{\pi - 3 \cos x}$

Функция определена, если выполнены два условия:

1. Определена функция котангенса $\operatorname{ctg} x$.
2. Знаменатель дроби не равен нулю: $\pi - 3 \cos x \neq 0$.

1. Функция $\operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$ определена, когда ее знаменатель $\sin x \neq 0$. Уравнение $\sin x = 0$ имеет решения $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Следовательно, $x \neq \pi n$ для любого целого $n$.

2. Рассмотрим второе условие: $\pi - 3 \cos x \neq 0$, что равносильно $\cos x \neq \frac{\pi}{3}$. Область значений функции косинуса — это отрезок $[-1, 1]$. Так как число $\pi \approx 3.14$, то $\frac{\pi}{3} \approx 1.047$, что больше 1. Поэтому уравнение $\cos x = \frac{\pi}{3}$ не имеет решений, и знаменатель дроби никогда не обращается в ноль.

Таким образом, единственным ограничением для области определения является условие существования котангенса.

Ответ: все действительные числа, кроме $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

в) $y = \frac{\sqrt{x}}{\sin x}$

Функция определена, если выполнены два условия:

1. Выражение под знаком квадратного корня неотрицательно: $x \ge 0$.
2. Знаменатель дроби не равен нулю: $\sin x \neq 0$.

Из первого условия следует, что $x \ge 0$.

Из второго условия, $\sin x \neq 0$, следует, что $x \neq \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Объединим оба условия: $x \ge 0$ и $x \neq \pi n$ для всех целых $n$.

Рассмотрим значения $n$:

• Если $n = 0$, то $x = 0$. Условие $x \ge 0$ выполняется, но $x$ нужно исключить.
• Если $n > 0$ (т.е. $n$ — натуральное число, $n \in \mathbb{N}$), то $x = \pi, 2\pi, 3\pi, \dots$ Эти положительные значения также нужно исключить.
• Если $n < 0$, то $x$ принимает отрицательные значения, которые уже исключены условием $x \ge 0$.

Таким образом, область определения состоит из всех положительных чисел, за исключением чисел вида $\pi n$, где $n$ — натуральное число.

Ответ: $x > 0$ и $x \neq \pi n$, где $n \in \mathbb{N}$.

г) $y = \frac{\operatorname{tg} x}{\sqrt{x-5}}$

Функция определена, если выполнены три условия:

1. Определена функция тангенса $\operatorname{tg} x$.
2. Выражение под знаком квадратного корня неотрицательно: $x - 5 \ge 0$.
3. Знаменатель дроби не равен нулю: $\sqrt{x-5} \neq 0$.

Условия 2 и 3 можно объединить в одно строгое неравенство: $x - 5 > 0$, откуда $x > 5$.

Условие 1: функция $\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$ определена, когда $\cos x \neq 0$. Уравнение $\cos x = 0$ имеет решения $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Эти значения нужно исключить.

Объединим все условия: $x > 5$ и $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$ для всех целых $k$.

Теперь найдем, при каких целых $k$ значения $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ оказываются больше 5:

$\frac{\pi}{2} + \pi k > 5$

$\pi(k + 0.5) > 5$

$k + 0.5 > \frac{5}{\pi}$

$k > \frac{5}{\pi} - 0.5$

Используя $\pi \approx 3.14$, получаем $k > \frac{5}{3.14} - 0.5 \approx 1.59 - 0.5 = 1.09$.

Так как $k$ — целое число, то наименьшее значение $k$, удовлетворяющее этому неравенству, равно 2. Следовательно, нужно исключить точки $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ для всех целых $k \ge 2$.

Ответ: $x > 5$ и $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}, k \ge 2$.