Номер 22.60, страница 143, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Найдите область определения функции:

22.60. a) $y = \sqrt{\sin x} + \frac{1}{\sqrt{\cos x}};$

б) $y = \sqrt{\cos x - \frac{1}{2}} + \operatorname{ctg} 2x;$

в) $y = \operatorname{tg} 2x - \frac{1}{\sqrt{1 - 2\sin x}};$

г) $y = \frac{1}{\sin 4x} - \sqrt{\cos x - \frac{1}{\sqrt{2}}}.$

а) $y = \sqrt{\sin x} + \frac{1}{\sqrt{\cos x}}$

Область определения функции (ОДЗ) находится из системы неравенств, обеспечивающих существование каждого слагаемого:

$\begin{cases} \sin x \ge 0 & \text{(подкоренное выражение корня в числителе)}\\ \cos x > 0 & \text{(подкоренное выражение в знаменателе строго больше нуля)} \end{cases}$

Неравенство $\sin x \ge 0$ выполняется, когда угол $x$ находится в I или II координатной четверти, включая границы: $x \in [2\pi n, \pi + 2\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Неравенство $\cos x > 0$ выполняется, когда угол $x$ находится в I или IV координатной четверти, не включая границы на оси OY: $x \in (-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Для одновременного выполнения обоих условий необходимо, чтобы угол $x$ находился в I координатной четверти. Рассмотрим граничные точки. Точка $x=2\pi n$ входит в область определения, так как $\sin(2\pi n) = 0$ и $\cos(2\pi n) = 1 > 0$. Точка $x=\frac{\pi}{2} + 2\pi n$ не входит, так как $\cos(\frac{\pi}{2} + 2\pi n) = 0$, что недопустимо в знаменателе.

Таким образом, область определения задается интервалом $[2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n)$.

Ответ: $x \in [2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.

б) $y = \sqrt{\cos x - \frac{1}{2}} + \operatorname{ctg} 2x$

Область определения функции определяется системой условий:

$\begin{cases} \cos x - \frac{1}{2} \ge 0 & \text{(подкоренное выражение)}\\ \sin 2x \ne 0 & \text{(условие существования котангенса)} \end{cases}$

Из первого условия получаем $\cos x \ge \frac{1}{2}$. Решением этого тригонометрического неравенства является множество $x \in [-\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \frac{\pi}{3} + 2\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Второе условие $\sin 2x \ne 0$ означает, что аргумент котангенса не должен быть равен $\pi k$. То есть, $2x \ne \pi k$, откуда $x \ne \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь необходимо из найденных отрезков $[-\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \frac{\pi}{3} + 2\pi n]$ исключить точки вида $\frac{\pi k}{2}$. Для основного отрезка $[-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}]$ единственной точкой такого вида является $x = 0$ (при $k=0$). Эту точку нужно исключить.

В результате для одного периода получаем объединение интервалов $[-\frac{\pi}{3}, 0) \cup (0, \frac{\pi}{3}]$. С учетом периодичности $2\pi$ получаем общее решение.

Ответ: $x \in [-\frac{\pi}{3} + 2\pi n, 2\pi n) \cup (2\pi n, \frac{\pi}{3} + 2\pi n]$, $n \in \mathbb{Z}$.

в) $y = \operatorname{tg} 2x - \frac{1}{\sqrt{1 - 2\sin x}}$

Область определения функции определяется системой условий:

$\begin{cases} \cos 2x \ne 0 & \text{(условие существования тангенса)}\\ 1 - 2\sin x > 0 & \text{(подкоренное выражение в знаменателе)} \end{cases}$

Из первого условия $\cos 2x \ne 0$ следует, что $2x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k$, откуда $x \ne \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Из второго условия $1 - 2\sin x > 0$ получаем $\sin x < \frac{1}{2}$. Решением этого неравенства является множество $x \in (\frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \frac{13\pi}{6} + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь из интервалов $(\frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \frac{13\pi}{6} + 2\pi n)$ нужно исключить точки вида $\frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$. Рассмотрим основной интервал $(\frac{5\pi}{6}, \frac{13\pi}{6})$. Точки, которые нужно проверить на принадлежность этому интервалу: $\frac{5\pi}{4}$ (соответствует $k=2$) и $\frac{7\pi}{4}$ (соответствует $k=3$). Обе эти точки лежат внутри интервала $(\frac{5\pi}{6}, \frac{13\pi}{6})$.

Следовательно, эти две точки необходимо исключить. Итоговый интервал разбивается на три части. С учетом периодичности получаем общее решение.

Ответ: $x \in (\frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \frac{5\pi}{4} + 2\pi n) \cup (\frac{5\pi}{4} + 2\pi n, \frac{7\pi}{4} + 2\pi n) \cup (\frac{7\pi}{4} + 2\pi n, \frac{13\pi}{6} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.

г) $y = \frac{1}{\sin 4x} - \sqrt{\cos x - \frac{1}{\sqrt{2}}}$

Область определения функции определяется системой условий:

$\begin{cases} \sin 4x \ne 0 & \text{(знаменатель не равен нулю)}\\ \cos x - \frac{1}{\sqrt{2}} \ge 0 & \text{(подкоренное выражение)} \end{cases}$

Из первого условия $\sin 4x \ne 0$ следует, что $4x \ne \pi k$, откуда $x \ne \frac{\pi k}{4}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Из второго условия $\cos x \ge \frac{1}{\sqrt{2}}$ (или $\cos x \ge \frac{\sqrt{2}}{2}$) получаем решение $x \in [-\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \frac{\pi}{4} + 2\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь из отрезков $[-\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \frac{\pi}{4} + 2\pi n]$ нужно исключить точки вида $\frac{\pi k}{4}$. Для основного отрезка $[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$ такими точками являются его концы $x = -\frac{\pi}{4}$ и $x = \frac{\pi}{4}$, а также внутренняя точка $x=0$.

Исключение этих трех точек из отрезка $[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$ дает нам объединение двух открытых интервалов: $(-\frac{\pi}{4}, 0) \cup (0, \frac{\pi}{4})$. Учитывая периодичность, получаем общее решение.

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{4} + 2\pi n, 2\pi n) \cup (2\pi n, \frac{\pi}{4} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.