Номер 22.62, страница 144, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Решите уравнение:

22.62. а) $ \sin^2 x + \sin^2 3x = 0 $;

б) $ \cos^4 2x + 1 = \cos^2 \left(x - \frac{\pi}{4}\right) $.

а) $\sin^2 x + \sin^2 3x = 0$

Данное уравнение представляет собой сумму двух неотрицательных слагаемых, так как квадрат любого действительного числа больше или равен нулю: $\sin^2 x \ge 0$ и $\sin^2 3x \ge 0$.

Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из слагаемых равно нулю. Таким образом, исходное уравнение равносильно системе уравнений:

$\begin{cases} \sin^2 x = 0 \\ \sin^2 3x = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} \sin x = 0 \\ \sin 3x = 0 \end{cases}$

Решим каждое уравнение системы.

Из первого уравнения $\sin x = 0$ получаем решения вида: $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Из второго уравнения $\sin 3x = 0$ получаем решения вида: $3x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$, откуда $x = \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Для решения исходной задачи необходимо найти общие решения для обоих уравнений, то есть найти пересечение множеств решений. Приравняем выражения для $x$:

$\pi k = \frac{\pi n}{3} \implies k = \frac{n}{3}$

Так как $k$ должно быть целым числом, то $n$ должно быть кратно 3, то есть $n$ можно представить в виде $n = 3m$, где $m$ — целое число. Подставив это в решение второго уравнения, получим $x = \frac{\pi (3m)}{3} = \pi m$.

Это и есть искомое решение, общее для обоих уравнений системы. Для единообразия записи можно использовать переменную $k$.

Ответ: $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $\cos^4 2x + 1 = \cos^2(x - \frac{\pi}{4})$

Преобразуем правую часть уравнения, используя формулу понижения степени $\cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$:

$\cos^2(x - \frac{\pi}{4}) = \frac{1 + \cos(2(x - \frac{\pi}{4}))}{2} = \frac{1 + \cos(2x - \frac{\pi}{2})}{2}$

Теперь воспользуемся формулой приведения $\cos(\alpha - \frac{\pi}{2}) = \sin \alpha$:

$\cos(2x - \frac{\pi}{2}) = \sin(2x)$

Таким образом, правая часть уравнения равна $\frac{1 + \sin 2x}{2}$. Подставим это в исходное уравнение:

$\cos^4 2x + 1 = \frac{1 + \sin 2x}{2}$

Умножим обе части на 2:

$2\cos^4 2x + 2 = 1 + \sin 2x$

$2\cos^4 2x + 1 = \sin 2x$

Оценим левую и правую части полученного уравнения.

Для левой части: так как $0 \le \cos^2 2x \le 1$, то $0 \le \cos^4 2x \le 1$. Отсюда следует, что $0 \le 2\cos^4 2x \le 2$, и $1 \le 2\cos^4 2x + 1 \le 3$. Значит, левая часть уравнения не меньше 1.

Для правой части: область значений функции синус от -1 до 1, то есть $-1 \le \sin 2x \le 1$. Значит, правая часть уравнения не больше 1.

Равенство возможно только в том случае, когда обе части уравнения равны 1. Это приводит к системе уравнений:

$\begin{cases} 2\cos^4 2x + 1 = 1 \\ \sin 2x = 1 \end{cases}$

Из первого уравнения получаем:

$2\cos^4 2x = 0 \implies \cos^4 2x = 0 \implies \cos 2x = 0$

Итак, нам необходимо одновременно удовлетворить двум условиям: $\cos 2x = 0$ и $\sin 2x = 1$. Если $\sin 2x = 1$, то из основного тригонометрического тождества $\sin^2(2x) + \cos^2(2x) = 1$ следует, что $1^2 + \cos^2(2x) = 1$, откуда $\cos 2x = 0$. Таким образом, достаточно решить только уравнение $\sin 2x = 1$.

Решаем уравнение $\sin 2x = 1$:

$2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.