Номер 22.63, страница 144, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

22.63. a) $\sin 4x + \cos 2x = 2;$

б) $\sin 5x + \cos 3x = -2.$

а) $\sin 4x + \cos 2x = 2$

Мы знаем, что область значений функций синуса и косинуса находится в промежутке от -1 до 1. То есть, для любых значений аргумента выполняются неравенства:

$-1 \le \sin 4x \le 1$

$-1 \le \cos 2x \le 1$

Сумма этих двух функций может быть равна 2 только в том случае, когда каждая из них принимает свое максимальное значение, равное 1. Таким образом, исходное уравнение равносильно системе уравнений:

$ \begin{cases} \sin 4x = 1 \\ \cos 2x = 1 \end{cases} $

Решим каждое уравнение системы отдельно.

1) $\cos 2x = 1$

$2x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (целые числа).

$x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\sin 4x = 1$

$4x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

Теперь нам нужно найти значения $x$, которые удовлетворяют обоим условиям, то есть найти общие решения. Для этого приравняем полученные выражения для $x$:

$\pi n = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}$

Разделим обе части уравнения на $\pi$:

$n = \frac{1}{8} + \frac{k}{2}$

Умножим обе части на 8, чтобы избавиться от дробей:

$8n = 1 + 4k$

$8n - 4k = 1$

$4(2n - k) = 1$

В левой части уравнения стоит выражение, которое всегда делится на 4, так как $n$ и $k$ — целые числа. В правой части стоит 1. Поскольку 1 не делится на 4, это уравнение не имеет решений в целых числах.

Это означает, что система уравнений не имеет решений, и, следовательно, исходное уравнение также не имеет решений.

Ответ: нет решений.

б) $\sin 5x + \cos 3x = -2$

Аналогично предыдущему пункту, используем свойство ограниченности функций синуса и косинуса:

$-1 \le \sin 5x \le 1$

$-1 \le \cos 3x \le 1$

Сумма этих двух функций может быть равна -2 только в том случае, когда каждая из них принимает свое минимальное значение, равное -1. Таким образом, исходное уравнение равносильно системе уравнений:

$ \begin{cases} \sin 5x = -1 \\ \cos 3x = -1 \end{cases} $

Решим каждое уравнение системы отдельно.

1) $\sin 5x = -1$

$5x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$x = -\frac{\pi}{10} + \frac{2\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos 3x = -1$

$3x = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

Теперь найдем общие решения, приравняв полученные выражения для $x$:

$-\frac{\pi}{10} + \frac{2\pi k}{5} = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3}$

Разделим обе части уравнения на $\pi$:

$-\frac{1}{10} + \frac{2k}{5} = \frac{1}{3} + \frac{2n}{3}$

Умножим обе части на общий знаменатель, равный 30:

$30 \cdot (-\frac{1}{10}) + 30 \cdot \frac{2k}{5} = 30 \cdot \frac{1}{3} + 30 \cdot \frac{2n}{3}$

$-3 + 12k = 10 + 20n$

Перенесем слагаемые:

$12k - 20n = 13$

Вынесем общий множитель в левой части:

$4(3k - 5n) = 13$

Так как $k$ и $n$ — целые числа, то выражение в скобках $(3k - 5n)$ также является целым числом. Левая часть уравнения $4(3k - 5n)$ всегда делится на 4. Правая часть уравнения равна 13, и 13 не делится на 4. Следовательно, это уравнение не имеет решений в целых числах.

Это означает, что у системы нет решений, а значит, и у исходного уравнения нет решений.

Ответ: нет решений.